samedi 30 novembre 2013

Un grand segment a-t-il plus de points qu'un petit ?

Philippe Colliard nous parle des points et des segments :
 

   Le segment [ABa-t-il plus de points que le segment [CD] ?

     Pour le savoir, rejoignons leurs extrémités par deux droites, qui se croisent en E.

     Traçons ensuite une droite passant par E, qui coupe les deux segments en F et G.

  Si F se promène sur l'un des deux segments, alors G se promène sur l'autre, et tous les points des deux segments sont ainsi  rangés par paires distinctes {F ; G}, donc :

les deux segments ont autant de points l'un que l'autre !

(Surprenant, non ?)


C'est une des raisons pour lesquelles un point n'est pas une tache, (si petite soit-elle).

D'après la revue "Tangente" de novembre 2013, ce résultat est dû à Galilée.

            Par analogie, dans la photographie suivantes, les traverses de chemin de fer ont (à peu près) la même longueur. Et pourtant, en perspective, plus elles sont loin, plus elles semblent petites.

Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).


5 commentaires:

  1. Bonjour,
    Il manque une chose importante dans votre explication, c'est la définition d'un point. Vous dites bien que ce n'est pas une tache, je suis d'accord, mais quand vous dotes "autant de points ..." c'est que vous pouvez donner une définition à "point".
    Bonne journée.

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    1. Bonjour,

      oui, c'est vrai :)
      Mais une "définition" du point est un des éléments essentiels de "... Donc, d'après..."
      et je ne peux pas reprendre tout le livre ici,
      n'est-ce pas ?

      Bonne journée également

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    2. Bonjour,
      Oui, la définition de "point" est un élément essentiel. La mienne (localisation) ne serait-elle donc pas bonne ? S'il y a tout un bouquin pour définir le point, ça laisse supposer qu'il y a un problème. Où pourrais-je trouver cette définition, ou le bouquin qui la contient ?
      Cordialement.

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    3. Bonjour...

      Non, la "définition " du point n'occupe pas tout le bouquin, évidemment !
      Mais pour pouvoir écrire un livre lisible par des collégiens, il m'a semblé nécessaire de prendre le temps de cette "définition" (qui n'est, en réalité, qu'une introduction par analogie : comme je le dis brièvement dans la vidéo de cet article, le point, la droite et le plan ne sont PAS définis dans les axiomatiques classiques, seuls leurs comportements sont imposés).

      Un point est un endroit, vous avez raison...
      Mais une ligne, une surface, un espace également, et chacun d'eux n'est pas un point.

      Vous n'avez pas besoin d'acheter le livre,
      il vous suffit de lire cet extrait :
      http://www.mathemagique.com/le-point.pdf

      ou, pour aller plus loin, de cliquer sur
      http://www.mathemagique.com/complements.html

      et de consulter les 4 parties sur les axiomes et les "métaxiomes".

      (Mais vous pouvez évidemment acheter le livre,
      en cliquant sur :
      http://www.mathemagique.com/commander-index.html ... Ou en demandant à un libraire de vous le procurer)

      Cordialement

      Philippe Colliard

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  2. Bonjour,
    Je pensais que nos échanges provoqueraient plus de réactions. J'en ai lu une aujourd'hui dans le cadre d'une discussion entre profs : comment expliquer que 0.99999... et 1 c'est pareil ?
    On en revient toujours au même point (sans jeu de mot): faire joyeusement un amalgame entre outils (mathématique) et utilisation (monde réel).
    Exemple simple, la VRAIE définition d'une matrice est une représentation de forme ligne-colonne qu'on appelle communément "tableau", d'une application linéaire. Maintenant on en arrive à des définitions du genre : un tableau est une matrice à deux ou plus dimensions.

    Pour revenir au sujet d'origine, un point n'est pas un objet, c'est une localisation. On peut considérer un ensemble d'objets, mais "un ensemble de localisations" devient tellement abstrait que ça n'a plus de sens, à mon avis.

    Cordialement

    Pierre Dolez

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