mercredi 18 décembre 2013

Une diagonale d'un carré




Dans le quartier de Manhattan (New York), où beaucoup de rues sont perpendiculaires, vaut-il mieux zig-zaguer de manière très fréquente, ou bien vaut-il mieux parcourir deux côtés d'un carré, pour rejoindre deux points diagonalement opposés ?







Ou encore, sur le dessin du carré ABCD ci-contre, quadrillé en 16 petits carrés, le trajet de A à C en ne suivant que deux segments, [AB] puis [BC] est-il plus long - ou plus court - qu'en parcourant successivement les segments [AE], [EF], [FG], [GH], et enfin [HC] ?



La réponse ? 


EF = BL, FG = EK, GH = LC et HC = KB        donc :
AE+EF+FG+GH+HC  =  AE+FG HC+EF GH  =  AE+EK+KB + BL+LC  =  AB + BC.

Les deux trajets ont la même longueur, AB + BC !!!


Et si maintenant nous quadrillons le carré initial en 64 carrés (un échiquier), ou en 100 carrés (un damier)... Ou en 324 carrés (un goban) ?

Le raisonnement reste le même - avec simplement plus de points intermédiaires : 
les deux trajets ont toujours comme longueur AB + BC (le double de la longueur d'un côté du carré ABCD initial).

Là où ce résultat devient plus troublant, c'est lorsque nous commençons à utiliser des quadrillages vraiment très fins du carré initial, en séparant chaque côté non plus en 4, 8,10 ou 18 segments, mais en 1000, 10000, 1 million...

Alors le chemin qui traverse le carré semble peu à peu se confondre avec la diagonale de
ce carré, ce qui peut laisser supposer que la longueur de cette diagonale est AB + CD !

Mais le théorème de Pythagore - et, bien plus simplement, une mesure, même imprécise, de la longueur d'un côté et de celle de la diagonale - nous montre bien que ce n'est pas vrai... 

... Et nous rappelle qu'il faut se méfier de raisonnements insuffisamment approfondis:)

Ici, le défaut du « raisonnement » est que tous les triangles observés restent rectangles :
il n'y a pas « d'aplatissement » de ces triangles vers la diagonale, quel qu'en soit le nombre.

(Si leurs sommets sont de plus en plus proches de la diagonale lorsque le nombre de triangles grandit, ce n'est pas parce qu'il y a déformation des triangles, et lorsqu'on « zoome » sur une petite partie de la diagonale, on retrouve exactement la configuration initiale !)

Et heureusement que ce « raisonnement » est défaillant :

sinon, il permettrait, par exemple, de prouver que 4 est égal à 2 !!!

(Si [AB] mesurait 1 cm, AB + BC vaudrait 2 cm, et d’après ce « raisonnement », [AC] mesurerait donc 2 cm :
le carré de AB vaudrait 1 cm2 (1x1 = 1) et celui de AC vaudrait 4 cm2 (2x2 = 4) … Mais d’après le théorème de Pythagore, ce même carré de AC vaudrait également 2 cm2 !)

(Nous avons tenté ici de donner une interprétation géométrique de la fausseté de ce raisonnement. Il en existe une démonstration purement numérique, mais elle nécessite des connaissances de niveau bac +1).

P. S. Yves C. nous a fait remarquer que la surface comprise entre le chemin et la diagonale se rapproche effectivement de 0, alors que le périmètre reste constant. (Ce phénomène se retrouve dans d'autres situations de niveau lycée).
.. 
Philippe Colliard et Mathieu Morinière




Aucun commentaire:

Enregistrer un commentaire

La parole est à vous :)