dimanche 1 décembre 2013

Un segment a-t-il plus de points qu'une droite ?

Nous allons ranger par paires distinctes les points d'une droite (AB) et ceux d'un segment [GH] (non perpendiculaires), comme dans l'article précédent.

Sur deux droites perpendiculaires à (AB), passant par G et Hon place deux points C et D de façon que (CD) soit parallèle à (AB), puis on construit un demi-cercle de centre E, de diamètre [CD]  et orienté vers (AB), comme sur la figure ci-contre.

Par un point F de [GH], on trace une perpendiculaire à (AB) qui coupe le demi-cercle en I, puis on trace la droite (EI) qui coupe (AB) en J.

Lorsque F se promène sur tout le segment [GH], alors J se promène sur toute la droite (AB), (sauf lorsque F se trouve en G et en H, car dans ce cas, (FI) // (AB) ), donc on a rangé par paires distinctes {F ; J} les points du segment ouvert ]G ; H[ et ceux de la droite (AB), donc  :

Un segment privé de ses extrémités possède autant de points qu'une droite !

(Étonnant non ?)

L'idée du demi-cercle m'est venue de la projection stéréographique dans le film "Dimensions" de Jos Leys, Aurélien Alvarez et Etienne Ghys.

Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).

6 commentaires:

  1. puisqu'il existe une bijection entre ]-1;1[ et R donc il exite autant de nombre ds ]-1;1[ que R

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  2. Bonjour,
    On parle de points comme d'objets. Si vous pouviez m'en prêter un peu, je pourrais faire des essais. J'en ai besoin de très peu, seulement de quoi réaliser la figure.
    Tout de même une question : les deux droites se coupent. Or j'ai appris que l'intersection de deux droites définit un point et un seul. Que se passe-t-il entre l'étape d'un "tout petit segment" avec un nombre de points aussi grand que celui d'un grand segment et l'étape de l'intersection ? Que sont devenus tous les points non utilisés ? Ils sont perdus ou récupérables ?

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  3. Bonjour,

    l'infini est une très grande source de résultats contre-intuitifs.

    Une vidéo pour y voir plus clair, en anglais, mais sous-titrable en option :
    https://youtu.be/ZUHWNfqzPJ8

    Cordialement,
    --
    Mathieu.

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    1. Bonjour,
      J'ai un peu de mal à comprendre votre réponse : "l'infini est une très grande source ...". L'infini n'existe pas, sauf dans le tête de Cantor et on sait qu'il était soigné justement pour cela. Comment pourrait-il être la source de quelque-chose ? Par contre si on dit "parler de l'infini provoque toujours des aberrations", alors là, je suis d'accord.
      D'ailleurs, je n'ai jamais compris l'intérêt que peuvent y trouver le mathématiciens (je passe sur les gags d’Achille et la tortue, le partage d'un gâteau en une infinité de convives). Je sais bien que le nombre de décimales de pi ou e n'est pas fini, mais c'est pas parce qu'on prend la moitié des décimales qu'on aura pi/2.
      Et à côté de cela (mais pas tellement loin) je me fais traiter d'hérétique quand je dis que les décimales de pi suivent une répartition normale.
      Cordialement;
      Signé Dlzlogic

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    2. Bonjour Dizlogic,

      L'infini n'existe pas physiquement,
      mais il est indispensable en mathématiques,

      car sinon, on devrait toutes les ré-écrire, sans pour autant
      simplifier les choses,

      ce qu'a fait Norman Wildberger :
      http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/views2.htm

      Cordialement,
      --
      Mateo.

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