mercredi 1 janvier 2014

Formats

Un jour, mon professeur de dessin industriel a commencé son cours ainsi :

Vous savez tous que les dimensions d'une feuille de format A4 (une photocopie usuelle) sont de :

21 cm sur 21 x racine(2) cm.

Je me suis retourné, mais personne n'a souri. Je me suis demandé : "Pourquoi cette précision diabolique ? La connaissance de 21x29,7 n'est-elle pas suffisante ?"


L'intérêt de ce format précis est que pour agrandir une photocopie du format A4 en A3, il faut un pourcentage d'augmentation de 141% (racine(2)≈1,41), et pour réduire une photocopie du format A4 en A5, il faut un pourcentage de réduction de 71% (1/(racine(2))≈0,71).

Si les aires sont multipliées (ou divisées) par 2, alors les longueurs sont multipliées (ou divisées) par (racine de 2).

L'intérêt de ce format est de conserver le rapport (Longueur/Largeur)=(racine(2)) dans tous les agrandissements qui doublent l'aire du rectangle.

Ci-contre, on a une représentation à l'échelle du format A0 (le plus grand rectangle, d'aire 1 mètre carré), puis du format A1 (la moitié de A0), puis A2 (la moitié de A1), puis A3 (la moitié de A2), puis A4 (la moitié de A3), puis de A5 (la moitié de A4), puis de A6 (la moitié de A5), etc...

On remarque sur ce dessin que les quatrièmes sommets des rectangles coloriés (qui sont de formats A0, A2, A4 et A6) sont tous sur une même diagonale, alors que leurs 3 autres sommets sont sur le côté gauche ou celui du bas. Si on redressait verticalement les rectangles couchés (A1 ; A3 ; A5), on constaterait que c'est encore le cas.

Plus généralement (en utilisant le théorème de Thalès) on peut démontrer que les rectangles dont le quatrième sommet est sur cette diagonale et les trois autres sommets disposés de manière semblable aux précédents sont tous de la même forme  (c'est-à-dire : Longueur/Largeur=constante) mais seuls ceux qui sont dessinés ont une aire qui est le quart de celle du précédent rectangle (A2 est quart de A0 ; A4 est le quart de A2 ; A6 est le quart de A4, etc...).

Comment pourrait-on définir des parallélépipèdes de même forme? Par la diagonale commune (en rouge) ?

Dans le dessin ci-contre, le grand parallélépipède a un volume 8 fois plus grand que celui du petit (car pour passer du petit au grand, les longueurs ont été multipliées par 2) mais il suffirait de choisir un point précis de la diagonale commune (point que je vous laisse calculer) pour que le volume du petit soit multiplié par 2 pour obtenir le volume du grand.

En résumé, les imprimantes 3D peuvent reproduire des objets de mêmes formes à différentes échelles, (avec des coefficients d'agrandissement ou de réduction  faciles à calculer pour que les volumes soient multipliés ou divisés par 2). (Le dessin a été fait en perspective avec un point de fuite).

Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).

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