mercredi 29 janvier 2014

[Exercice] rectangles et périmètres en 6ème

Des élèves de 6ème ont eu l'exercice suivant :


Exercice : Un rectangle a 20 cm de périmètre et sa longueur a 5cm de plus que sa largeur.

Quelles sont ses dimensions ?


Solution 1 : une élève a levé la main au bout de 10 secondes et a donné la réponse.
Je lui ai demandé comment elle avait fait. Elle m'a répondu :

"Si le rectangle était un carré, il aurait 5 cm de côté.
Il faut que sa longueur mesure 5cm de plus que sa largeur, donc je divise 5 cm par 2 (soit 2,5 cm)
puis je l'ajoute à la longueur du carré : 5 cm + 2,5 cm = 7,5 cm ;
puis je la soustrais à la largeur du carré : 5 cm - 2,5 cm = 2,5 cm".

Pourquoi a-t-elle divisé 5 cm par 2 ? Elle m'a répondu : "Si on ajoute 5 cm à la longueur et si on soustrait 5 cm à la largeur du carré, alors on obtient 10 cm et 0 cm, donc la différence entre les deux est de 10cm (et non de 5 cm)". 

Impressionnant, non ? 

Un autre élève de 6ème a proposé  :

Solution 2 : la longueur fait 5 cm de plus que la largeur : par exemple :
1er essai : 10 cm et 5 cm ; mais alors le périmètre est de 30 cm (et non de 20 cm).
2ème essai : 7 cm et 2 cm ont une différence de 5 cm, mais alors le périmètre est 18 cm.
3ème essai : 8 cm et 3 cm ont une différence de 5 cm, mais alors le périmètre est 22 cm.
4ème essai : 7,5 cm et 2,5 cm ont une différence de 5 cm, et le périmètre est 20 cm.


En 3ème après le chapitre sur les systèmes, un élève aurait écrit :
   
Solution 3 : appelons L la longueur et l la largeur du rectangle recherché.
2(L + l) = 20     donc        L + l = 10     donc       2 L = 15     donc     L = 7,5
L - l = 5                                   L - l = 5                       2 l = 5                    l = 2,5


En général, lorsqu'un mathématicien ne trouve pas la solution d'un problème, il essaie de l'approcher par une méthode d'essais-erreurs. S'il a de la chance, après de nombreuses heures (ou années) de recherche, il trouve une solution relativement plus simple que les autres et il la publie. Il ne publie en général pas ses brouillons, ce qui serait pourtant intéressant.

Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).

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