lundi 24 février 2014

Une expérience vécue : la découverte des nombres relatifs en cinquième

Réfrigéré par les sempiternels thermomètres, épuisé par de longues marches le long de la droite des réels, gagné par le mal de mer après de nombreux yo-yos en ascenseurs et reculant d'horreur devant une horde de comptes chèques débiteurs, j'ai tenté, en 2001, une approche différente des nombres négatifs... 13 ans plus tard, je continue à l'appliquer : elle
« marche » toujours aussi bien !
Non, bien sûr, elle n'est pas parfaite. Et, pour une fois, ce n'est pas une « construction » : tout au fond de moi, une petite voix me souffle que si, si, des élèves de cinquième pourraient s'intéresser au « quotientage » de NxN par une relation d'équivalence bien choisie, mais je ne l'écoute pas ! Lorsque j'ai commencé à enseigner, peut-être... Je n'en suis même pas certain, et de toute façon, c'était il y a 40 ans !


Alors ?
Alors, j'ai choisi les ballons. Ça m'a donné l'occasion de faire de la « polydiscipline », bref, de faire découvrir aux élèves que les montgolfières et les ballons étaient des inventions relativement récentes, que nous vivions au fond d'un océan d'air, que des bulles d'air chaud ou de gaz légers 
« cherchaient » à monter à la surface de cet océan - tout comme des bulles d'air, lâchées au fond d'une piscine, montent à sa surface, d'évoquer Archimède...

 Ça m'a même permis, vers 2005, d'animer un IdD (itinéraire de découvertes) d'un trimestre, durant lequel les participants ont construit une machine à ajouter des relatifs - à partir de quelques tiges d'acier, de bobines de fil, de poulies et de masses en résine durcie. Au moins, cette année-là, les heures d’IdD n'ont pas été entièrement perdues pour les maths !

Tout commence par une égalité, écrite au tableau :  2 + 3 = 5 … Et une énigme :)
Bon, je ne vais pas vous imposer une longue dissertation… Sans parler de dessins un peu compliqués pour ce blog. 

J'ai publié les feuilles que je distribue à mes élèves après deux ou trois séances de réflexion en commun.

Si vous pensez que cela peut vous intéresser,
cliquez sur "ébauches : servez-vous"... Puis descendez tout en bas du tableau !

Lisez, imaginez la progression en cours, le côté gentiment théâtral et les interventions des élèves... Tout ce qui n'apparaît pas dans ces feuilles de synthèse.
Imaginez également, si vous le voulez bien, combien cette présentation m'a facilité, très rapidement ensuite, l'introduction de la valeur absolue - quel que soit le nom dont on l'affuble maintenant - et de l'addition entre relatifs.

Et... Servez-vous, si vous vous sentez des atomes crochus avec cette approche !

Comme indiqué en haut de la première des trois pages, elles sont publiées sous licence
« Creative Commons BY/NC/SA», c'est-à-dire à diffusion non commerciale libre, mais sous la même licence,contenu modifiable - à l'exception des lignes de "propriété" (lignes au-dessus du logo). (Tous les renseignements sur le site de Creative Commons).

Ce serait bien que, dans la partie commentaires, vous me fassiez part de vos réflexions,
remarques ou suggestions concernant ces feuilles.

Merci :)

Philippe Colliard.

8 commentaires:

  1. Rémi_pas_logué a écrit sur :
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,907543,908137#msg-908137

    --- Citation ---

    Bonsoir,

    Je trouve l'idée intéressante en soi pour ma part. Je l'ai déjà utilisé mais jamais en donnant un papier aux élèves jusqu'au aujourd'hui.
    L'intérêt d'aller jusqu'au bout de l'idée comme cela est fait dans le document réside de mon point de vu du nouvelle objet mathématique qu'il faut créer pour résoudre l'équation.
    Je trouve d'ailleurs que la notion de racine carrée est mise en évidence par le manque justement de solution à l'équation x²=a avec a positif et il se trouve que pour le coup, on retrouve l'idée d'équation qui a un sens en soi et qui n'a pas de solution avec les éléments déjà construits.

    Donc très intéressant et je pense que si j'ai encore des 5ème l'an prochain, je risque fort de construire le petit dispositif pour le faire fonctionner devant les élèves pour voir justement la réaction et l'intérêt d'une telle solution. La difficulté que j'aurai résidera dans la création du "ballon" et je pense que j'opterait concrètement par la poulie qui sera plus simple à mettre en place, pour visualiser le nouveau poids posé sur un plateau (où il y aura la valeur du point alors que pour le ballon, physiquement cela à un sens mais le fait qu'il puisse avoir une force égale à quelque chose concrètement).

    En revanche, le soucis que cela peut poser sur le long terme résidera peut-être comme pour les élèves de 4ème, de se passer de la balance. J'ai encore un élève en 3ème qui a eu un mal fou à se passer de la balance pour résoudre une équation du premier degré (il dessinait encore des balances étape par étape).

    Merci pour le partage d'expérience.

    A quand, le manuel d'activité voire le manuel scolaire ?

    --- Fin de citation ---

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    1. Philippe Colliard a répondu sur :
      http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,907543,908369#msg-908369

      --- Citation ---

      Bonjour Rémi,
      et merci pour ta contribution.

      En ce qui concerne le "cours" - qui tient plus ici d'un débat avec la classe - j'attends que qqun ait pensé aux ballons, et je les laisse ensuite constamment imaginer des ballons lorsque je manipule devant eux une grande règle plate qui représente le fléau d'une balance. Et leur imagination fonctionne rapidement très bien !
      Les dessins au tableau sont également à base de ballons.

      En revanche, je passe au moins 1 séance à leur faire découvrir la poulie, à l'aide du matériel construit avec des élèves, il y a une dizaine d'années. Au débur, il y a, sur le bureau, une balance en équilibre, avec d'un côté, visible, une masse de 2 unités et de l'autre (côté gauche), une masse visible de 5 unités et un très grand carton qui cache le reste - l'anneau de gauche lui-même, le support de la poulie, la poulie et la masse qui compense. Et ça aussi, ça marche très bien
      (J'aime bien, lorsque je leur demande quel est le moyen le plus rapide pour déterminer ce qui est caché, qu'un(e) élève un peu moins conditionné que les autres, "ose" répondre : "enlever le cache, m'sieur ! ... Il y en a toujours un(e) )

      En ce qui concerne un manuel... Désolé, mais ce n'est pas trop mon truc : trop de manuels prétendent détenir "LA" vérité, trop de collègues les suivent aveuglément, sans se poser la question de leur légitimité.
      Alors, présenter une construction, aussi solide que possible, des éléments que nous enseignons, oui :
      je l'ai fait dans mon livre de géométrie ("donc, d'après", qui n'est PAS, mais vraiment pas, un manuel... Et qui est, à ma connaissance, le seul livre qui propose une construction complète, pas à pas, de toute la géométrie plane au collège), et je compte le refaire à propos des nombres.
      Il m'a fallu plus de 4 ans pour la géo, mais pour les nombres, un an devrait suffire. Vers Noël, peut-être ???

      MAIS encore une fois, prétendre apporter un cours à mes collègues, non. D'une part, je ne suis vraiment pas pour la pensée unique, d'autre part, il me semblerait de loin préférable que chacun d'entre nous se construise plus ou moins son propre cours - en l'appuyant évidemment sur des sources sérieuses (ce que les manuels sont rarement : plein de jolies images, une grande banque d'exos, mais rarement un cours structuré, et encore moins rigoureux).
      Ca doit bien faire 15 ans que je ne me sers pas de manuels en classe, et mes élèves ne semblent pas s'en porter plus mal

      Amicalement,

      Philippe Colliard

      --- Fin de citation ---

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    2. Rémi_pas_logué e répondu sur :
      http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,907543,908514#msg-908514

      --- Citation ---

      Bonjour,

      Sinon pour les nombres, je m'étais amusé à présenter les ensembles en 6eme en culture scientifique. C'est toujours marrant de constater comment la notion d'ensemble est totalement intuitif pour eux alors que nous somme totalement hors programme.
      Enfin, j'avais tenté de justifier les algorithmes de calcul appris en primaire avec des 3eme et je me souviens avoir buté sur la justification de la division de façon rigoureuse avec comme opération les trois autres et sans avoir les propriétés des quotients car en primaire jusqu'en 6eme nous n'avons pas ces propriétés d'égalité de quotient/fraction.

      J'ai commencé à lire ton livre que j'ai acheté dernièrement et j'avoue qu'il me donne des idées pour de l'AP en 6eme surtout que l'avantage réside dans le fait qu'il s'adresse à tous les niveaux. J'avais lu One Zéro Show suivi du point à la ligne de Denis Guedj et ton premier voyage m'a fait penser à la 2 ème pièce de théâtre de la naissance du point jusqu'à la ligne même si son but était la pièce de théâtre et toi le but est une construction théorique.

      Bonne continuation.

      --- Fin de citation ---

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  2. Philippe Colliard a répondu sur :
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,907543,908544#msg-908544

    --- Citation ---

    Bonsoir Rémi,

    je vais essayer de bien continuer ;-)

    Merci de l'achat du livre, de tes commentaires et de tes encouragements.

    Philippe Colliard

    P.S. : oui, on a dit beaucoup de mal des "maths modernes" alors que bien comprises et bien enseignées, elles apportaient des outils fantastiques... Sans même parler de tous les langages et méta-langages informatiques ! Mais leur introduction dans le secondaire a été précipitée et mal ficelée. Certains ont même parlé de sabotage conscient, mais je n'aime pas trop ces "théories des complots" ;-) .


    --- Fin de citation ---

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  3. Philippe Colliard a écrit sur :
    http://www.neoprofs.org/t65004-livre-d-axiomatique-des-maths-de-college-par-philippe-colliard-wwwmathemagiquecom#2412771

    --- Citation ---

    > B-Becker a écrit:
    > Quant au prix de l'ouvrage qu'il essaye de vendre...

    Peut-être le livre, d'abord : oui, il est (relativement) cher.
    D'une part, il m'a demandé quatre ans de rédaction, soit entre 1500 et 2000 heures de travail...

    D'autre part, il n'a, à ma connaissance, pas d'équivalent : j'ai essayé d'y construire, pas à pas, et de façon à ce qu'un élève puisse au moins le survoler, toute la géométrie plane du collège.

    Enfin, je l'ai entièrement financé à mes frais.
    Alors, vous pouvez l'aimer ou ne pas l'aimer, mais, s'il vous plaît, ne sous-entendez pas que j'essaie « de me faire du fric » avec ce qui, pour moi, est une passion.

    (Si c'était l'argent qui m'intéressait, je suppose que 2000 heures de cours particuliers seraient plus rentables !)

    > B-Becker a écrit:
    > Habitué à la "propreté" du latex, je n'accroche pas au style.

    Mes feuilles sur les nombres relatifs, maintenant :
    oui, leur présentation date : je les ai écrites il y a 12 ans… Pas de LaTex
    de plus, il ne s'agit que de feuilles de cours, qui me servent, comme je l'ai dit, d’ébauches.

    Je les mets à votre disposition, et vous avez le droit de les transformer… À condition évidemment d'y trouver de l'intérêt !

    Vous avez également le droit de ne pas y trouver d'intérêt

    > gpelletier4 a écrit:
    > Dans le document de Philippe Colliard, il est dit que -3 n'est pas une
    > soustraction et pourtant il s'agit bien de la soustraction 0 - 3 (cf documents
    > d'accompagnement des programmes) noté plus simplement -3.

    Une toute petite remarque, tout de même : non -3 n'est pas une soustraction... Ni d'ailleurs une addition une multiplication etc.

    C'est un nombre, et ce nombre peut être effectivement considéré comme le résultat d'une soustraction, mais également de nombreuses additions,
    multiplications ou divisions.

    Cordialement
    --
    PhC

    --- Fin de Citation ---

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    1. GPelletier a répondu sur :
      http://www.neoprofs.org/t65004-livre-d-axiomatique-des-maths-de-college-par-philippe-colliard-wwwmathemagiquecom#2413046

      --- Citation ---

      En ce qui concerne le prix de votre livre, j'avoue que je ne l'ai pas vu et que je ne m'y suis pas intéressé, tout comme le fait qu'il soit écrit en latex. Je préfère débattre sur les mathématiques.

      En ce qui concerne -3, le signe "-" ne tombe pas du ciel, le but est bien de rendre certaines soustractions possibles : 7 - 10 = (7 - 7) - (10 - 7) = 0 - 3 (C'est une réflexion possible donnée par les documents d'accompagnement) et donc -3 est la notation du résultat de la soustraction 0 - 3 (pour le coup, c'est le résultat et non la soustraction comme vous le dites, je suis d'accord avec vous). Cela me semble plus pertinent pour aborder les nombres relatifs.

      En ce qui concerne le reste du document, je trouve également que c'est un peu "lourd" (très imaginatif cependant) et je pense (même si je n'ai pas testé votre document) qu'il aura tendance à rendre la notion plus opaque. Je lui préfère le document de l'IREM cité précédemment que je trouve plus accessible et plus "mathématique".

      --- Fin de citation ---

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    2. Philippe Colliard a répondu sur :
      http://www.neoprofs.org/t65004p20-livre-d-axiomatique-des-maths-de-college-par-philippe-colliard-wwwmathemagiquecom#2417084

      --- Citation ---

      Bonjour GPelletier,

      En ce qui concerne le prix de mon livre, je ne faisais que répondre à une remarque d’un colistier.

      En ce qui concerne -3, votre raisonnement, et donc celui de vos documents d’accompagnement, aboutirait à écrire « :10/7 » l’inverse de « 7/10 » , puisqu’en suivant ce raisonnement 7 :10 = (7 :7) : (10 :7) = 1 : 10/7 = :10/7 .

      En écrivant 7 - 10 = (7 - 7) - (10 - 7) = 0 - 3 , vous supposez déjà acquise l’existence de la soustraction relative : vous ne faites que reporter une soustraction inconnue ( 7 – 10 ) sur une autre soustraction inconnue ( 0 – 3 ) dans laquelle vous décidez que 0 « ne compte pas ».

      Mais comment pouvez-vous savoir si 0 « compte » ou non, tant que vous n’avez pas défini cette opération ?

      Le but de mon document est d’essayer de retracer, à un niveau accessible pour des collégiens de 5ème, une construction des relatifs, puis – et seulement alors – d’introduire une nouvelle opération (la soustraction relative, définie par « a – b = a + (opposé de b) » ), qui ne prend du sens que si « opposé de b » en a … D’où l’idée d’essayer de concevoir un objet qui apporterait ce sens ! Ce n’est évidemment qu’une analogie possible, il en existe d’autres : je ne suis pas un adepte de la pensée unique. A ce sujet, qui n’est à mon sens, qu’une extension de ce dialogue, pourriez-vous prendre le temps de lire les commentaires sur mon article ? Il me semble qu’ils vous intéresseraient et nous permettraient peut-être de poursuivre cette discussion ?

      Je voudrais enfin vous dire qu’à mon sens, l’écriture (-3) pour (opposé de 3) est un handicap (qu’il est trop tard pour surmonter), puisqu’elle laisse effectivement croire que la soustraction est à l’origine des opposés – alors que c’est le contraire, et puisqu’elle incite, comme dans le raisonnement que vous proposez, à sous-entendre des propriétés qu’on choisit de considérer comme « évidentes » ( a-b = (a-c) – (b-c) ? ) ! Il aurait certainement été plus rationnel (sans jeu de mot) d’inventer une autre écriture, comme on l’a fait pour les inverses. Défaut supplémentaire : elle mène à un conditionnement qui fait penser que (-a) est un nombre négatif .

      Très cordialement

      Philippe Colliard

      --- Fin de citation ---

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  4. --- R. D. a écrit : ---
    Je me souviens du temps où on utilisait des écritures en couleur comme (p3), (m2), (p3)+(m2), (p3)-(m2)...
    et du temps où on a court-circuité directement en (+3)-(-2)..., peut-être en retour de balancier après les "maths modernes" ? Ya des retours néfastes :-)

    J'ai fait aussi un FLASH en utilisant l'idée de G Jobin :
    http://www.gilles-jobin.org/jobineries/index.php?2008/05/16/753-d-ici-a-la-france#co
    Tu pourrais peut-être utiliser cette idée pour un travail théâtral : acteurs en rouge, acteurs en bleu, rassemblement explosif !
    Cordialement,
    RD
    --- Fin de citation ---

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