jeudi 6 mars 2014

... Ensuite, je ne fais PAS « le produit en croix » !


En cliquant – oserai-je maintenant dire « comme d'habitude » ? – sur "ébauches, servez-vous", vous tomberez sur une de mes vieilles feuilles de cours, légèrement remaniée : elle explique à mes élèves pourquoi je n'aime pas « le théorème des produits en croix », ou plus précisément, pourquoi je n'aime pas l'abus automatique et décérébré qu'on en fait.

Vous pouvez naturellement (comme d'habitude ?) télécharger cette feuille, la remanier puis la distribuer à votre guise - à condition d'en respecter la licence 
« Creative Commons BY/NC/SA».

Ce n'est qu'une feuille de cours, et, voulant aller à l'essentiel sans trop perdre d'élèves en cours de route, j'ai discrètement escamoté quelques étapes : en particulier celles qui utilisent l’associativité ou la commutativité de la multiplication, ou la définition de la division comme une multiplication par l'inverse.

Je n'ai pas non plus voulu m'appesantir sur la signification des symboles « = ». J'aurais aimé trouver la place de rappeler que, si ces symboles peuvent avoir trois sens différents, ils avaient tous, dans cette feuille, le sens le plus usuel : relier deux écritures d'un même objet. J'ai peut-être eu tort de ne pas le faire. Après tout, c'est pour cette raison que je peux écrire dans cette feuille « si   c = ka , alors  bc = bka » puisque, que je l'appelle c ou ka, il s'agit du même nombre, et c'est ce nombre que je multiplie par b

Mais je voulais que cette diatribe contre « le produit en croix » reste, dans mon cours, une parenthèse au caractère anecdotique. Elle ne devait donc pas dépasser une page.

Encore une fois, vous êtes libres de la densifier à votre guise...

Vous êtes également libres de laisser des commentaires sur cet article ! En fait, j'aime bien.

À bientôt ?

      Philippe Colliard

Un dernier rappel : la licence « Creative Commons BY/NC/SA», permet une diffusion non commerciale libre, mais sous la même licence, contenu modifiable - à l'exception des lignes de "propriété" (lignes au-dessus du logo).
(Tous les renseignements sur le site de Creative Commons)

6 commentaires:

  1. Bonjour,

    "Je n'ai pas non plus voulu m'appesantir sur la signification des symboles « = ». J'aurais aimé trouver la place de rappeler que, si ces symboles peuvent avoir trois sens différents"

    Que voulez-vous dire ?

    RépondreSupprimer
    Réponses
    1. Bonsoir,
      Il est assez usuel - mais ce n'est pas universel :) - de distinguer 3 sens du symbole "=" :

      -) 3+5 = 8 ... Ou 8 = VIII ... Ou, pour 3 point A, B et C alignés :
      (AB) = (AC) , etc. "=" relie alors 2 écritures d'un même objet

      -) 3 + a = 5 "=" est alors une question :
      pour quelle(s) (éventuelles) valeur(s) de a la "phrase" écrite
      a-t-elle un sens ET est-elle vraie ?

      -) m est la fonction définie par :
      pour tout réel a , m(a) = 3 + a
      Ici, "=" "affecte" (au sens informatique) une fonction :
      Il la définit par son mécanisme

      Mais, encore une fois, ce n'est pas gravé dans le marbre :)
      L'expliquer aux élèves permet peut-être d'obtenir plus de rigueur de leur part dans leur rédaction de calculs, d'équations...

      Merci d'avoir "commenté" :)

      PhC

      Supprimer
    2. Merci pour cette réponse. J'avais obtenu la même sur le forum les-mathematiques.net. Je recopie ici, en l'adaptant un peu, le commentaire que j'avais fait en réponse.

      Pour moi le "=" a le même sens dans les trois exemples que tu donnes. C'est ce qui est autour qui change (on peut définir un objet en imposant une égalité ; on peut utiliser un théorème pour démontrer une égalité entre objets déjà définis ; on peut se demander si on a égalité entre des objets définis ; mais dans tous les cas il s'agit d'une égalité symbolisé par le =).

      Certains élèves utilisent le "=" dans leurs copies pour dire "j'ai fait un calcul ou un raisonnement et j'ai obtenu ça" sans qu'il n'y ait un lien entre ce qui est à droite du égal et ce qui est à gauche. Il n'y a d'ailleurs parfois rien à gauche ! J'ai un peu peur que cette volonté de mettre de la psychologie dans le signe "=" (en lui attribuant plusieurs nuances) fasse peut-être partie de ce qui peut mener à ce genre d'utilisations douteuses.

      Je n'ai par contre aucune expertise sur le sujet, je n'enseigne pas dans le secondaire. Les étudiants scientifiques du supérieur font en général une utilisation raisonnable du signe "=". Le symbole magique qu'ils utilisent souvent à tort pour dire "j'ai fait un calcul ou un raisonnement et j’aboutis à ce qui suit" est le symbole "=>".

      H.

      Supprimer
  2. Le pire
    en ce qui me concerne
    concernant Le(?) produit en croix
    c'est que les élèves font
    le signe cabalistique qu'ils ont appris pour la plupart en sixième (!!!!)
    qui correspond au moyen mnémotechnique de calcul de la quatrième proportionnelle (à voir, normalement, en quatrième)
    et disent alors "je fais le produit en croix" (notamment dans Thalès)

    Ceci dit
    j'ai renoncé
    essayer de combattre un bidule implanté dans le cerveau depuis trois ans
    ...
    les élèves réagissent assez mal.

    Merci de ton travail

    LCM

    RépondreSupprimer
  3. A part compliquer des "choses simples" plus ou moins maîtrisées par des élèves, je ne vois pas de réel intérêt à une telle fiche. Cela ne les aise guère dans la compréhension de ce qui se passe, et aurait plutôt tendance à les embrouiller. M'enfin si ça plaît à certains.

    RépondreSupprimer
    Réponses
    1. Bonjour Melenaus,

      je dirais qu'elle incite les élèves à privilégier d'autres rédactions que les produits en croix, et sinon, à connaître la véritable formulation de ce théorème.

      Peut-être qu'elle fait aussi réfléchir sur le côté "Appliquer sans comprendre" une formule, alors que si on la comprend, on fait
      moins d'erreurs en l'utilisant. C'est un principe général.

      Cordialement,
      --
      Mathieu.

      Supprimer

La parole est à vous :)