dimanche 6 avril 2014

[Problème ouvert] un carré inscrit dans un triangle rectangle isocèle

Soit un triangle rectangle et isocèle dont le côté de l'angle droit mesure 6 cm.
On a prouvé dans un article récent que l'on pouvait construire avec précision un carré inscrit dans ce triangle, dont un des côtés est sur l'hypoténuse, et dont les deux autres sommets sont sur les côtés de l'angle droit.

Quelle est l'aire de ce carré ?

(Dans les commentaires, il y a des indications pour le résoudre, de plusieurs manières possibles).

Mathieu Morinière
(Merci à GeoGebra)

13 commentaires:

  1. Une première manière de le résoudre utilise le théorème de Thalès, 2 fois.

    Une deuxième manière de le résoudre utilise le théorème de Pythagore, 2 fois.

    Une troisième manière de le résoudre consiste à deviner (en la mesurant) la longueur AD, et à vérifier par un calcul précis, utilisant une des deux méthodes précédentes, que cette mesure est effectivement la bonne.

    Peut-être existe-t-il d'autres méthodes, utilisant un carré adjacent au triangle par l'hypoténuse, ou bien le triangle rectangle symétrique du premier par rapport à l'hypoténuse, mais je ne les ai pas trouvées.

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    1. Combien de fois le petit triangle rectangle ADE rentre-t-il dans le triangle DBG ?

      Combien de fois ce petit triangle rentre-t-il dans le carré DEFG ?

      Cela devrait permettre de calculer l'aire du carré facilement.

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  2. Où faut-il utilisé le théorème de Thalès ?

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    1. Bonjour,

      on peut l'utiliser dans le triangle ABC, avec (ED) // (BC).

      Sinon, en traçant la perpendiculaire (AH) à la droite (BC),
      avec H appartenant à (BC), on peut utiliser Thalès dans AHB,
      avec (CD) // (AH).

      Cordialement,
      --
      Mateo.

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  3. Bonjour Unknown,

    es-tu un(e) élève ? En quelle classe ?

    On peut démontrer que la longueur CB est partagée en trois parts égales,
    grâce au fait que DEFG est un carré, et par Pythagore on trouve CB.

    Cordialement,
    --
    Mateo.

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  4. Comment peut on savoir la mesure d'un des cotes du carré?

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    1. Bonjour Anonyme,

      de quelle classe es-tu ? (Réponds s'il te plaît).

      Si tu es en 4ème, tu calcules BC par Pythagore,
      puis tu démontre que le côté du carré vaut un tiers de BC,
      en prouvant que BFC est isocèle et rectangle (il a un angle de 45º).

      Si tu es en 6ème, il faut utiliser d'autres arguments, par exemple
      ceux du 2ème commentaire.

      Si tu n'y arrives pas, pose-moi des questions plus précises,
      car je ne vois pas ce qui te pose un problème.

      Cordialement,
      --
      Mateo.

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  5. Bonjour mateo quel serai la meilleur redaction .. Les etapes
    Merci (3eme)

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  6. enfaite je vois pas comment on peut démontrer que le coté du carré vaut un tiers de BC ?

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  7. ah oui! j'ai oublier de préciser que j'étais en 4ème! (pas la peine de répondre a ce commentaire)

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    1. 1º) Première étape : calculons BC, par le théorème de Pythagore (...)

      2º) Deuxième étape : prouvons que le côté du carré vaut un tiers de BC.

      a) Pour cela, prouvons que CFE est un triangle isocèle et rectangle, (c'est-à-dire un demi carré).

      L'angle droit est facile à prouver (observe bien la figure).

      L'angle FCE vaut 45º (essaie de trouver pourquoi).

      Connaissant 2 angles du triangle FCE, tu peux calculer le 3ème angle.

      Sachant que 2 angles d'un triangle sont égaux, quelle est sa nature ?

      En utilisant ceci et le carré, tu as démontré que CF = FE = FG.

      Par symétrie axiale (ou bien de même ...), on a BG = GD = GF.

      En réunissant les deux derniers résultats, on a démontré que le côté du carré a comme longueur un tiers de celle de BC.

      Essaie de rédiger soigneusement tous ces arguments, et d'une manière générale, pars toujours de ce que tu sais pour aller vers ce que tu veux démontrer.

      Pour trouver toutes ces idées, au brouillon, on fait le chemin inverse :
      que veut-on démontrer, pourquoi est-ce vrai, etc... jusqu'à ce que l'on arrive à ce que l'on sait.

      Cordialement,
      --
      Mathieu.

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    2. On peut commencer par démontrer que les triangles BDG, ADE et CEF sont rectangles isocèles en utilisant le fait que ABC est rectangle isocèle en A. Il y a plein d'angles de 45°.
      On peut appeler x la longueur AE.
      Comme AED est rectangle isocèle en A, on a alors ED qui est égale à x multiplié par racine de 2. (La longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle est égale à la longueur d'un côté de l'angle droit multiplié par racine de 2.)
      Comme CEF est rectangle isocèle en F, CE est égale à x multiplié par racine de 2 multiplié par racine de 2. Donc CE = 2x.
      D'où AC = AE + EC = x + 2x = 3x = 6.
      Donc x =2.
      Le côté du carré est x multiplié par racine de 2 = 2 fois racine de 2.
      L'aire du carré est égale au carré du côté donc 8 cm².

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