lundi 14 avril 2014

Qu'est-ce qu'une construction axiomatique de la géométrie ?



Les définitions d'un point et d'une ligne (dans un dictionnaire non mathématique) sont :

POINT : figure géométrique sans dimension : intersection de deux lignes.
LIGNE : figure qui peut être matérialisée par un fil assez fin. Un point qui se déplace engendre une ligne.

On voit que ces deux définitions forment un cercle vicieux : chacune d'entre elles a besoin de l'autre pour définir ces deux objets.

Dans un dictionnaire mathématique, on apprend qu'un point, selon Euclide, est ce qui n'a aucune partie. On peut aussi dire plus simplement qu'un point ne désigne pas un objet mais un emplacement. Il n'a donc aucune dimension, longueur, largeur, épaisseur, volume ou aire. Sa seule caractéristique est sa position. On dit parfois qu'il est « infiniment petit ».

Un point n'a donc pas de définition mathématique rigoureuse, c'est un objet intuitif, à partir duquel on construit tous les autres objets de la géométrie euclidienne, et à l'aide d'une vingtaine d'axiomes (qui sont des énoncés non démontrables) on démontre des millions de  théorèmes de la géométrie.

On savait depuis Euclide et Hilbert que l'on pouvait - en théorie - écrire toute la géométrie de collège à partir des axiomes, mais on savait également combien l'entreprise était délicate, et jusqu'au "... Donc, d'après...", de Philippe Colliard, personne, à ma connaissance, ne s'y était encore risqué.

Ce livre a été écrit avec la volonté de concevoir un ouvrage lisible aussi bien par des collégiens - ou par des parents - motivés que par des professeurs. Dans cet esprit, Philippe Colliard a adjoint aux axiomes de Hilbert quelques "axiomes physiques" (l'un de ses lecteurs les a appelés des "axiomes pédagogiques"), constituant un ensemble de 24 "métaxiomes" sur lesquels repose toute sa construction.

Pourquoi lire ce livre ? Pour découvrir la cohérence des mathématiques que l'on ne trouve pas dans les manuels scolaires de collège.

Mathieu Morinière.

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