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dimanche 25 mai 2014

Vous avez dit « réciproque du théorème de Thalès » ?


L'énoncé actuel du théorème de Thalès, en France, est :

soient cinq points distincts, A, B, C,D et E, tels que (BD) et (CE) soient sécantes en A.
Si (BC) et (DE) sont parallèles,
alors les rapports AB/AD , AC/AE  et BC/DE sont égaux.

L'affirmation réciproque de ce théorème est donc :

soient cinq points distincts, A, B, C,D et E, tels que (BD) et (CE) soient sécantes en A.
Si les rapports AB/AD , AC/AE  et BC/DE sont égaux,
alors (BC) et (DE) sont parallèles.

Seulement voilà, cette affirmation est fausse (dans au moins une situation... Mais à moins que les mathématiques n'aient récemment changé, c'est suffisant pour qu'il ne s'agisse pas d'un théorème) !

Dans la colonne « commentaires » du programme de mathématiques en classe de troisième (B.O. spécial numéro 6 du 28 août 2008), il est écrit, à propos du théorème de Thalès :

La réciproque est formulée en tenant compte de l’ordre relatif des points sur chaque droite mais, dans le cadre du socle commun, les élèves n’ont pas à distinguer formellement le théorème direct et sa réciproque.

Dans la même phrase, une erreur, donc (le théorème de Thalès n'a pas de théorème réciproque)... ET une absurdité :  « l'ordre relatif des points de deux droites » ne peut avoir de sens que si ces droites sont parallèles ! Mais il s'agit, dans l'esprit du rédacteur, de comparer l'ordre des points B, A et D à celui des points C, A et E... Donc des points de deux droites sécantes.
(Je suppose que l'idée sous-jacente est d'imaginer une sorte de direction plus ou moins proche des directions de ces deux droites - par exemple la direction de la bissectrice des angles aigus définis par ces droites... On peut appeler ça du bidouillage, mais sûrement pas des maths ! Et ce bidouillage même s'effondre lorsque les deux droites sont perpendiculaires)

De nombreux professeurs l'ont certainement déjà remarqué, mais comme je ne l'ai encore jamais vu préciser par écrit (ailleurs que dans «... Donc, d'après... »), il ne m’a pas paru déplacé d’en reparler ici.

En cliquant sur « ... Donc, d'après,.. », puis sur "triangles", vous pourrez, si vous le souhaitez, accéder aux pages de « … Donc, d’après… » qui approfondissent cet article (p. 213 et suivantes).

Le théorème 140 qui y est mentionné à plusieurs reprises est celui-ci :

T-140 Si une droite, parallèle à un côté d'un triangle, passe par le milieu d'un deuxième côté de ce triangle, alors cette droite passe par le milieu du troisième côté.

Vous le retrouverez p. 199 du même extrait.

(Vous pouvez également le retrouver, sous le numéro 51, dans le feuillet  « Géométrie plane : théorèmes à connaître en fin de 3ème » accessible directement, depuis le même lien
« ... Donc, d'après,.. »
,
puis « compléments » puis « côté profs : servez-vous »)

Et pour finir, une question : mais QUI écrit les programmes officiels ?

A bientôt, et merci d’être de plus en plus nombreux à consulter ce blog

   Philippe Colliard

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