dimanche 25 mai 2014

Vous avez dit « réciproque du théorème de Thalès » ?


L'énoncé actuel du théorème de Thalès, en France, est :

soient cinq points distincts, A, B, C,D et E, tels que (BD) et (CE) soient sécantes en A.
Si (BC) et (DE) sont parallèles,
alors les rapports AB/AD , AC/AE  et BC/DE sont égaux.

L'affirmation réciproque de ce théorème est donc :

soient cinq points distincts, A, B, C,D et E, tels que (BD) et (CE) soient sécantes en A.
Si les rapports AB/AD , AC/AE  et BC/DE sont égaux,
alors (BC) et (DE) sont parallèles.

Seulement voilà, cette affirmation est fausse (dans au moins une situation... Mais à moins que les mathématiques n'aient récemment changé, c'est suffisant pour qu'il ne s'agisse pas d'un théorème) !

Dans la colonne « commentaires » du programme de mathématiques en classe de troisième (B.O. spécial numéro 6 du 28 août 2008), il est écrit, à propos du théorème de Thalès :

La réciproque est formulée en tenant compte de l’ordre relatif des points sur chaque droite mais, dans le cadre du socle commun, les élèves n’ont pas à distinguer formellement le théorème direct et sa réciproque.

Dans la même phrase, une erreur, donc (le théorème de Thalès n'a pas de théorème réciproque)... ET une absurdité :  « l'ordre relatif des points de deux droites » ne peut avoir de sens que si ces droites sont parallèles ! Mais il s'agit, dans l'esprit du rédacteur, de comparer l'ordre des points B, A et D à celui des points C, A et E... Donc des points de deux droites sécantes.
(Je suppose que l'idée sous-jacente est d'imaginer une sorte de direction plus ou moins proche des directions de ces deux droites - par exemple la direction de la bissectrice des angles aigus définis par ces droites... On peut appeler ça du bidouillage, mais sûrement pas des maths ! Et ce bidouillage même s'effondre lorsque les deux droites sont perpendiculaires)

De nombreux professeurs l'ont certainement déjà remarqué, mais comme je ne l'ai encore jamais vu préciser par écrit (ailleurs que dans «... Donc, d'après... »), il ne m’a pas paru déplacé d’en reparler ici.

En cliquant sur « le théorème de Thalès », vous pourrez, si vous le souhaitez, accéder aux neuf pages de « … Donc, d’après… » qui approfondissent cet article.

Le théorème 140 qui y est mentionné à plusieurs reprises est celui-ci :

T-140 Si une droite, parallèle à un côté d'un triangle, passe par le milieu d'un deuxième côté de ce triangle, alors cette droite passe par le milieu du troisième côté.

(Vous pouvez le retrouver, sous le numéro 51, dans le feuillet  « Géométrie plane : théorèmes à connaître en fin de 3ème » accessible directement, depuis la page « théorème de Thalès », sur « compléments » puis sur « côté profs : servez-vous »)

Et pour finir, une question : mais QUI écrit les programmes officiels ?

A bientôt, et merci d’être de plus en plus nombreux à consulter ce blog

   Philippe Colliard

10 commentaires:

  1. Rudolf Bkouche a écrit :
    --- Citation ---
    A ma connaissance le théorème de Thalès a une réciproque.

    Théorème direct. Dans un triangle ABC, si M est sur le côté [AB] et N sur le côté [AC], si (MN) est parallèle à (BC), alors AM/AB = AN/AC.

    Théorème réciproque : Dans un triangle ABC, si M est sur le côté [AB] et N sur le côté [AC], si AM/AB = AN/AC, alors (MN) est parallèle à (BC)

    Deux énoncés classiques et clair depuis Euclide et que l'on retrouve dans les ouvrages de géométrie élémentaire.

    Bien cordialement,
    --
    rudolf

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    1. JC Salmon a écrit :
      --- Citation ---
      La formulation "actuelle" des programmes : "(BM) et (CN) se coupent en A" évite d'avoir des triangles aplatis (mais sans doute que pour Euclide un triangle ABC supposait A,B,C non alignés.

      Par contre, cela interdit B=M et C=N, donc AM/AB=AN/AC=1

      Pour l'énoncé de la propriété réciproque en 3e, je ne suis pas sûr que parler d'"ordre des points" soit plus clair que d'orienter les droites et parler de mesure algébrique.

      Il y avait (avant que je ne sois prof) une formulation avec projection oblique, voire projection d'une graduation régulière.

      Style "des parallèles découpent sur deux droites des segments proportionnels" mais je ne suis pas certain de la formulation.

      Et "l'image par projection d'une graduation régulière est une graduation régulière"

      Cela ne suppose pas des droites sécantes au départ et généralise donc le théorème de Thalès.
      --
      JC

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  2. Rudolf Bkouche a écrit :
    --- Citation ---
    La formulation d'Euclide est celle que j'ai donnée, à savoir les points M et N sur les côtés.

    Elle suffit pour donner l'énoncé, qui a ma connaissance est toujours vrai :

    Des parallèles équidistantes découpent sur deux sécantes des segments proportionnels.

    Je renvoie à Hadamard qui reste, en français, la référence. (Il y a aussi Rouché-Comberousse).

    Avant de parler projection, on peut commencer par cela. On peut ensuite parler de projection.

    Je crois qu'on oublie la géométrie au nom de je ne sais quel "bon" langage.
    --
    Rudolf

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    1. Philippe Colliard a écrit :
      --- Citation ---
      Bonsoir Rudolf, et JC (bis ?)

      Rudolf : en 2015, et depuis 7 ans, la formulation "officielle " s'appuie sur ceci :

      "Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes."
      (LES côtés, pas 2 côtés...)

      JC :
      tu peux retrouver la formulation que tu cites (ou une équivalente) - avec évidemment sa démonstration p. 207 de mon livre, théorème T-152 (il me semble bien me rappeler que tu l'as ?)...

      Sinon également en cliquant sur le lien de l'article référencé dans mon mail précédent, qui "pointe" sur l'extrait ad hoc du livre" :)

      Amicalement
      --
      Philippe

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  3. JC a écrit :
    --- Citation ---
    Il est quand même utile de donner aux élèves un bon langage, et des propriétés qui ne peuvent être mises en défaut par des cas particuliers.

    Le but n'est pas d'oublier le sens en formalisant, mais de ne pas dire de choses fausses.
    --
    JC

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    1. Rudolf Bkouche a écrit :
      --- Citation ---
      Je ne connais pas le langage officiel des mathématiques. Un texte mathématique n'est pas un texte législatif ou administratif. il énonce des propriétés.

      Le formulation "officielle" dit "connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes.

      Je remarquerai deux choses :

      - ce texte n'indique aucun énoncé de théorème, il exprime un objectif d'enseignement.

      - ce texte est plutôt mal rédigé (que signifie "les côtés ?)
      Reste donc à énoncer le théorème et sa réciproque. C'est plus clair. Et on connaît cela depuis Euclide.

      En principe les programmes fixent des objectifs ; il ne donnent pas la rédaction des textes mathématiques.

      Mais la question sous-jacente reste la suivante : l'enseignement a-t-il pour objet de transmettre des connaissances aux élèves ou bien a-t-il pour objet de leur donner le règlement du "langage officiel".

      Bien cordialement,
      --
      Rudolf

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  4. Rudolf Bkouche a écrit :
    --- Citation ---
    Le bon langage est celui des mathématiques. Et pour le connaître, il suffit de lire des textes de mathématiques, par exemple Hadamard en ce qui concerne la géométrie élémentaire.
    --
    Rudolf

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    1. Michel Suquet a écrit :
      --- Citation ---
      Bonjour Philippe,

      > comme Rudolf l'a rappelé, le "théorème de Thalès", tel que nous le
      > concevons (actuellement) en France, est loin d'être universel :)

      D'autant plus que lorsque j'étais au collège (vers les années 70'), le
      théorème de Thalès ne concernait pas des triangles mais des parallèles
      (autant qu'on veut) qui coupent 2 droites d1 et d2 :

      sur la droite d1,
      on a les points d'intersection A, B, C, D, … et sur la droite d2, on a
      les points d'intersection correspondants A', B', C', D' …

      On pouvait alors écrire les rapports que l'on désirait : par exemple, AC/BC = A'C'/B'C' ou bien AB/AC = A'B'/A'C' etc.

      Cordialement,
      --
      Michel Suquet

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  5. Roland Dassonval a écrit :
    --- Citation ---
    JC Salmon a écrit :

    > Il y avait (avant que je ne sois prof) une formulation avec projection oblique,
    > voire projection d'une graduation régulière.
    > Style "des parallèles découpent sur deux droites des segments proportionnels"
    > mais je ne suis pas certain de la formulation.

    "Une projection conserve un quotient de mesures algébriques".
    --
    R. D.

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    1. Yves C. a écrit :
      --- Citation ---
      Je note que les projets de programmes énoncent «Théorème de Thalès», sans préciser ce dont il s'agit (et en 3ème seulement).
      --
      yves

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