jeudi 28 août 2014

La symétrie centrale



La symétrie centrale est, à mon sens, l'un des... Centres du programme de géométrie de cinquième.

Je voudrais lui consacrer le premier article de cette rentrée 2014 pour au moins deux raisons :
d'une part, plusieurs collègues semblent vouloir s'y atteler très rapidement et ont récemment lancé un appel à toutes les bonnes volontés pour leur fournir des éclairages différents sur cette symétrie centrale. Alors, pourquoi pas cet éclairage-ci ?

D'autre part, à la suite d'un de mes articles précédents, dans lequel des élèves de quatrième parlaient de « ma méthode », d'autres collègues m'ont demandé de quoi il retournait.

Bon, ceux-là, je vais les décevoir : je ne crois vraiment pas avoir de méthode particulière. J'essaie simplement de communiquer mon plaisir à discuter de choses que je connais. J'y reviendrai peut-être dans un autre article.
Mais pour ne pas les décevoir totalement, voici un court extrait (enfin, quelques pages, tout de même) d'un livre qui m'avait été « commandé » en 2007 par un directeur de collection du « Cherche-Midi »... Qui l'a, ensuite, refusé, parce qu'il n'était pas assez polémique.Il avait raison, bien sûr : la polémique, ce n'est pas mon truc !
Cet extrait dissèque une approche de la symétrie centrale en cinquième - et, dans la foulée, exprime quelques-unes de mes idées sur l'enseignement. Permettez-moi d'insister : il ne s'agit que d'une approche parmi d'autres, et « mes » idées sont vraisemblablement celles de nombreux professeurs...

L'extrait est ici (il est, comme d'habitude sous licence "creative commons") :


Toutefois, pour lui donner un support, je vous suggère de lire en parallèle l'introduction de la symétrie centrale dans «… Donc, d'après... ». Le lien est ici :


Et si vous le souhaitez, de lire, de télécharger, de modifier et d'utiliser mes feuilles de cours sur ce thème, en cliquant ici :

Voilà. Bonne rentrée à tous. Une rentrée qui me manque déjà. Mais on ne peut pas à la fois être et avoir été.

Philippe Colliard

3 commentaires:

  1. JP a écrit :

    --- Citation ---

    Merci pour ces pages de réflexion.

    L’idée de hiérarchiser les propriétés est très positive. Celle de partir d’une réalisation physique l’est également ; hélas on se place dans l’espace. J’ai cependant quelques questions naïves. Pourquoi la symétrie centrale conserve-t-elle les longueurs ? Quand montre-t-on que des triangles ayant des côtés égaux ont aussi des angles égaux ?

    Par ailleurs l'invariance d'une droite passant par le centre est un fait plus primitif que la conservation des longueurs.

    Quelqu’un peut-il m’éclairer ?
    --
    JP.

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    Réponses
    1. Philippe Colliard a répondu :

      --- Citation ---

      Bonjour,

      dans la construction que j'ai développée

      la sym. centrale conserve les longueurs... c'est le théorème n° 10 (voir
      l'extrait du livre, cité dans l'article)

      2 triangles ayant des côtés égaux, etc. ... C'est le "métaxiome" n° 14

      Quant à l'invariance d'une droite, etc. , dans ma construction, elle
      n'arrive que plus tard: c'est le th. n° 23, dont tu voici la
      démonstration dans "donc, d'après..." :

      T-23 Une droite est globalement invariante par rapport à chacun de ses
      points.

      Démonstration :
      soient A et B deux points de l'espace. J’appelle C un point quelconque
      de (AB).
      Dans la symétrie de centre C :
      j’appelle D l’image de A et E l’image de B.
      D'après D-69, C est le milieu de [AD], donc A, C et D sont alignés, donc
      D est un point
      de (AC). Avec le même raisonnement, E est un point de (BC).
      Mais C est un point de (AB) donc les points A, B, C, D et E sont
      alignés, donc (AB) = (DE) !
      D'après T-15, l’image de (AB) est (DE)… Donc (AB) est bien sa propre
      image.

      Mais évidemment, je ne peux pas recomposer tout le livre ici, en
      remontant tous les théorèmes, tous les métaxiomes et toutes les
      définitions les uns après les autres. Il y en a 300 pages :)

      Cordialement,
      --
      Philippe

      ... Donc d'après...
      Une construction axiomatique de la géométrie au collège.
      Le livre : http://www.mathemagique.com
      Le blog : http://mathemagique-com.blogspot.fr/

      --- Fin de citation ---

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    2. JP a écrit :

      --- Citation ---

      Tout simplement, j'ai fini par trouver les réponses que j'attendais
      en parcourant plus en détail les documents en lien. Voici ce que
      je retiens pour la symétrie centrale (si j'ai bien compris).
      1) On donne une définition constructive simple, comme attendu.
      2) On montre la conservation des longueurs, également comme attendu,
      à l'aide de ce qu'on appelait jadis un "cas d'égalité".
      3) On en déduit celle des angles, à l'aide d'un autre de ces fameux
      "cas d'égalité".

      C'est donc un plaidoyer pour l'enseignement traditionnel, ce qui ne
      me choque pas du tout, même si cela va à l'encontre de la démarche
      à base de transformations qui a fait entrer les symétries au programme.
      En tout cas, il est très bien :
      a) de raisonner plutôt que d'accumuler des faits,
      b) de partir de la physique, en cherchant à y introduire des concepts
      abstraits à la façon d'Euclide, même si cela ne marche pas trop avec
      la symétrie centrale, faute de faire coïncider les plans image et objet.

      Il reste que le fait que les droites passant par le centre soient stables
      résulte directement de la construction. La démonstration que donne
      Philippe dans sa réponse le confirme. Dit plus simplement, le
      transformé M' de M est un point de la droite OM.

      Encore merci.

      --- Fin de citation ---

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