samedi 3 janvier 2015

Démonstrations




Qu'est-ce qu'une démonstration ?
Comment démontre-t-on ? Un collégien, un lycéen peut-il démontrer ? Doit-il démontrer ?

(Je penserais plutôt : peut-il ne pas démontrer ? Mais c'est là un autre sujet, dont j'espère parler très prochainement... Et longuement !)

Au bout de ces (nombreuses) années d'enseignement, à me poser des questions quasiment chaque jour, j'ai tout de même acquis une certitude – ce qui n’en fait pas pour autant une vérité :

tous les collégiens et tous les lycéens peuvent participer à des démonstrations.
(Et ce serait bien qu'ils puissent le faire !)

Tout doucettement au début, en sixième et en cinquième, un petit truc de temps en temps, des démonstrations très simples, des raisonnements à un seul chaînon.

Pour prendre goût aux maths.
Pour découvrir peu à peu que les maths, c'est ça, et non pas un ensemble insipide de recettes.
Pour découvrir également que,
quelle que soit la langue qu'ils parlent chez eux, quel que soit « leur milieu », là, ils n'ont pas de handicap.

Et puis en quatrième, en troisième, au lycée, ils devraient participer à des démonstrations un peu plus coriaces.

Pour le frisson de la découverte, du moment où « tout bascule ».
                                                                                                                                 
(Mon ami Mathieu me racontait récemment que, lorsqu'il était en « Maths-Sup », il reproduisait en « kholle » les démonstrations qu'il avait apprises – jusqu'au soir où un «kholleur » lui avait dit :
« c'est bien, toutefois c'est dommage d'avoir appris la démonstration par cœur ». Mais il lui avait encore fallu attendre quelques années avant qu'un prof d'université lui confie un des secrets de la démonstration : repérer le point où tout bascule... Le reste n'est qu'intendance !)

Participer, pas subir !

Pour retenir une démonstration, il est préférable d’en avoir la motivation... Le désir - et ce désir est bien plus facile à stimuler chez des acteurs volontaires que chez des spectateurs passifs :
une démonstration ne se retient pas plus dans le vide qu'une langue étrangère ne s'apprend juste pour l’apprendre.

Mais comment faire participer nos élèves à une démonstration ?
Je n'ai évidemment aucune recette magique à vous proposer. Nous sommes tous différents, et nos élèves diffèrent d'une année à l'autre, d'une classe à l'autre. L'idée générale serait de les intégrer à la construction des maillons qui précèdent le « moment magique » : celui qui déclenche le cœur de la démonstration.

Bon, plutôt que de longuement discourir, voici, à titre d'exemple, comment nous avons travaillé sur le théorème de Pythagore, en quatrième, l'an dernier. Permettez-moi d'insister : il s'agit d'un exemple d'un travail personnel, en aucun cas d'un modèle à suivre. Je l'ai déjà dit, je le redirai de nombreuses fois : je suis contre la pensée unique !

Ne m'en veuillez pas, je dois vous diriger vers un autre fichier (mais vous commencez en avoir l'habitude !) : je ne maîtrise vraiment pas les dessins dans un blog :)

C'est ici :  pour ébauches ,
puis cliquez sur « Démontrer : l'exemple du théorème de Pythagore »

(vous pouvez même ignorer le début du texte... Vous venez de lire)

Merci de continuer à suivre ce blog comme vous le faites, et, je l'espère, à bientôt.

Philippe Colliard

13 commentaires:

  1. Le Bateleur a écrit :
    --- Citation ---



    J'ai lu avec intérêt
    et apprécié le chemin de merveilleux que tu as proposé à tes élèves.

    (Je vais essayer de ne pas reproduire
    ce "pourquoi j'ai détesté les maths " ... dans la bouche de mes inspecteurs
    et donc adopter une attitude d'écoute bienveillante et de critique ouverte)

    Ta présentation de la démonstration
    me semble être un cheminement vers la découverte
    plus qu'un travail sur la démonstration elle-même

    mais cela ne retire rien à son utilité
    préalable pour arriver au second point.

    Démontrer c'est justifier le point d'arrivée
    au delà "d'admettre sa réalité"

    C'est donc quelque chose qui a à voir avec l'argumentation*

    En fait il s'agit de développer un discours
    du point de départ
    au point d'arrivée
    qui force l'interlocuteur à accepter l'existence d'une "nécessité"

    Ce qui m'intéresse
    en terme de développement de l'élève
    au-delà des mathématiques
    à ce niveau
    c'est que
    nous proposons là les bases de l'argumentation

    Et les mathématiques sont pour cela
    un outil formidable
    puisqu'elles manipulent des petits êtres élémentaires (ni physiques, ni émotionnels ... juste virtuels)
    et permettent donc de mettre à nu les mécanismes de ce
    "Si tu as cela ... tu as cela" (n'est-ce pas ?)
    et
    "si tu as cela ... tu as cela " (n'est-ce pas ?
    et ...
    ...
    donc si tu as (point de départ)
    tu as nécessairement (point d'arrivée)

    Une motivation intrinsèque à la démonstration
    (c'est à dire "pourquoi apprendre à démontrer")
    consiste à intéresser l'élève à l'outil et ses moyens
    en lui montrant qu'ils lui serviront au-delà des maths

    Bien évidemment la motivation
    s'appuie sur
    des activités spécifiques
    lors desquelles l'élève peut éprouver des instants de plaisir
    (ce fameux éblouissement de l'insight - "l'éclair sur le chemin de Damas" auquel ont retire le côté divin)
    sur un thème particulier
    suite à un chemin tortueux
    à derrière un guide autoritaire mais humain
    (il dit ce qu'il faut faire ... on marche en aveugle ... mais on lui fait confiance
    - et en maths les chutes sont sans dommage ... normalement - )

    Celle que tu nous as proposé en est une
    que je conserve soigneusement
    merci

    Luc Comeau-Montasse


    * Démontrer / Argumenter

    - M'sieur Tom il dit qu'un carré c'est un rectangle
    - Ben oui !
    - C'est faux !
    - Non c'est juste
    - Non c'est faux !
    - Si c'est juste
    ...
    - Ce n'est pas en répétant plusieurs fois quelque chose (qui est faux) que cela devient plus juste
    par contre il existe des moyens de convaincre l'autre de la justesse de ce qu'on dit.
    - ...(Tom)
    - ... (Blandine l'autre élève)
    - Blandine, peux-tu nous dire ce qu'est un rectangle ?
    - C'est un quadrilatère qui a quatre angles droits ... euh ! et pas de côtés égaux
    - Tu es certaine de la seconde partie de ta définition ? En géométrie c'est RARE que les définitions comportent des exclusions comme "pas de côtés égaux"
    vérifions dans le livre (ou dictionnaire ou internet)
    ...
    - Donc un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits .
    Est-ce qu'un carré à quatre angles droits ... tu peux ici aussi utiliser la définition.
    - euh ... oui bien sur
    - Donc un carré vérifie les conditions pour appartenir à la catégorie (au club ... à l'ensemble ...)
    des rectangles
    - euh ... oui
    - c'est donc un rectangle !
    - mais ça va pas ...
    - Ah bon ? Dis moi ce qui ne va pas dans toute ce que nous avons dit
    - Rien mais ...
    - Donc, POUR L'INSTANT, tu es obligée d'admettre ce que te dit Tom comme vrai.
    ...
    --
    Le Bateleur
    --- Fin de citation ---

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    1. Roland Dassonval a répondu :
      --- Citation ---
      En rapport (?) avec ce fil, un exemple de démonstration avec de la parole verbale dans la page d'introduction
      http://rdassonval.free.fr/flash/flash2015.html
      La démonstration est dite jeu (le jeu n'est pas puéril comme disait JH).
      --
      Roland Dassonval.

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    2. Le Bateleur a répondu :
      --- Citation ---
      Enfin !
      un peu de ta présence (la voix)
      dans une de tes productions.

      Merci pour cette proposition
      --
      Luc
      --- Fin de citation ---

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    3. Rudolf Bkouche a répondu :
      --- Citation ---
      Très joli l'exercice.
      Cela dit, la démonstration n'est pas un jeu, mais lorsqu'on sait faire des démonstrations, il y a un aspect ludique de la démonstration et celle-ci peut devenir un jeu.
      --
      Rudolf Bkouche
      --- Fin de citation ---

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    4. JC Salmon a répondu :
      --- Citation ---

      En fait qu'est-ce qu'un jeu ?

      --- Fin de citation ---

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    5. Roland Dassonval a répondu :
      --- Citation ---
      Je donnais une référence, en forme de clin d'oei, à Johan Huizinga... Souvenirs de jeunesse :-)
      On en parle dans ce billet :
      http://clairelomme.blogspot.fr/2014/12/jouer-pour-apprendre-de-l-innovation.html#links
      --
      Roland Dassonval
      --- Fin de citation ---

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  2. Le Bateleur a répondu :
    --- Citation ---
    Le problème avec le mot jeu
    et jeu pense que Rudolf réagit à cela
    c'est que le mot est mis à toutes les sauces.

    On nous bassine (voir des maths avec (les clowns) Amédé et Gugusse)
    avec
    les aspects ludiques des maths (rire et jeu voir même magie et sorcier)
    qu'il faudrait mettre en avant.

    Nous serons peut-être tous d'accord pour dire que
    ce n'est pas d'abord un jeu
    dans la mesure où la petite dissonance du début d'une activité mathématique
    est un inconfort avant d'être cause d'attrait
    et qu'elle nécessite le plus souvent
    du travail, une mise en action (en jeu ?)

    Sinon
    oui la démonstration (les mathématiques) permet de "s'amuser"
    comme sur un piano
    à celui qui à fait quelques efforts pour travailler ... (a minima) le contact avec l'objet.
    --
    Luc
    --- Fin de citation ---

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    1. Guillaume Caron a répondu :
      --- Citation ---
      Sur le jeu, une définition :

      Selon Gilles Brougère, cinq critères, dont les deux premiers sont majeurs, définissent le jeu :
      - Le second degré, ce qui conduit le jeu à être une situation à laquelle les acteurs engagés confèrent une autre signification que celle liée aux comportements utilisés […] ;
      - La présence d’une décision, non seulement celle de jouer ou d’entrer dans le jeu, mais le fait que le jeu n’est qu’une succession de décisions […] ;
      - La règle, qu’elle soit préalable ou construite au fur et à mesure du jeu […] ;
      - La frivolité ou l’absence de conséquence de l’activité […] ;
      - L’incertitude, l’idée que l’on ne sait pas où le jeu conduit – contrairement, par exemple, à un rite.

      En ce sens, on peut s’amuser à faire des démonstrations mais ce n’est pas un « jeu » en tant que tel.
      --
      Guillaume Caron
      --- Fin de citation ---

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    2. Éric Trouillot a répondu :
      --- Citation ---
      Qu'est-ce qu'un jeu ?
      Question complexe alors que jeu est un tout petit mot qui est en apparence évident.
      Les cinq critères cités par Guillaume ci-dessous sont partagés par Brougères et Caillois, deux éminents ludologues.
      C'est dans la notion de second degré et de frivolité (qualifié aussi de gratuité ou d'improductivité par d'autres ludologues) que se cache cette part de mystère dans l'acte de jouer,
      car que fait-on vraiment, que cherche-t-on vraiment quand on joue ? mystère...
      Par contre, il manque un paramètre fondamental, le principe de liberté.

      C'est un point central pour les ludologues : la liberté. On ne peut pas jouer contraint ou forcé. D'ailleurs, l’introduction du jeu dans la classe pose donc problème au regard de ce postulat. En effet, l’enseignant qui apporte un jeu dans sa classe, ne va pas faire le tour de la classe en sollicitant un à un chaque élève pour lui demander si il est d’accord pour jouer en application du principe de liberté individuel ! Ce biais n’est pas un réel problème, les stratégies de contournement et les arguments pour convaincre les éventuelles réticences ne manquent pas. Il s’agit pour l’enseignant de trouver un équilibre entre les libertés individuelles et un accord tacite collectif qui se substituera à la somme de ces libertés individuelles. Cette problématique de la recherche d’équilibre entre l’individu et le collectif traduit bien l’exercice de funambule de l’enseignant devant sa classe. Avec qui dois-je travailler ? Un groupe constitué d’élèves ou une somme d’élèves qui constitue un groupe ? Derrière cet artifice sémantique se cache une grande partie de la difficulté de l’acte d’enseigner. La pratique du jeu met bien en évidence cette évolution de l’équilibre individu-groupe. Le jeu me semble être un support qui permet à la fois de faire vivre le groupe avec une réelle prise en compte de l’individu.
      --
      Éric Trouillot
      --- Fin de citation ---

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    3. Rudolf Bkouche a répondu :
      --- Citation ---
      On peut en effet poser la question.
      Mais la démonstration est d'abord une méthode pour découvrir des vérités (on peut ensuite discuter du terme "vérité"). Lorsqu'on maîtrise l'art de démontrer, la démonstration peut devenir un jeu.
      --
      Rudolf Bkouche
      --- Fin de citation ---

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    4. Rudolf Bkouche a répondu :
      --- Citation ---
      Je me souviens avoir passer des vacances de Noël à jouer à la théorie de Galois. Le ludique n'est pas lié à la théorie de Galois mais à ma connaissance de cette théorie et mon plaisir à travailler sur cette théorie.
      C'est cela qui permet de parler de l'aspect ludique des mathématiques. il faut d'abord les connaître pour apprendre à savourer le plaisir qu'elle donne.
      --
      Rudolf Bkouche
      --- Fin de citation ---

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  3. Le Bateleur a répondu :
    --- Citation ---

    Je me souviens
    avoir passé (pas toutes )mes vacances (mais un brin)
    sur la plage en Calabre
    à inventer des Jeux
    pour introduire
    1) l'alignement de points
    2) la notion de parallélisme
    3) l'angle droit
    parce que personne ne m'y avait contraint (sourire)²

    1) une grille 6 x 6 (ou plus) tracée dans le sable
    chacun pose une pierre à son tour
    le premier qui produit un alignement de trois pierres
    a perdu
    2) une grille de 6 x 6 (ou plus) tracée dans le sable
    chacun pose une pierre à son tour
    le premier pour lequel deux droites passant par 4 de ses points sont parallèles
    a perdu
    3) une grille de 6 x 6 (ou plus) tracée dans le sable
    chacun pose une pierre à son tour
    le premier pour lequel deux droites passant par trois de ses points sont perpendiculaires
    a perdu

    variantes
    "a gagné"
    placer deux galets et en retirer un à chaque tour

    --

    PS : je clos mon activité mathématiques non strictement professionnelle ce jour
    cela fait un mois que j'attends que mon inspecteur lise mon courrier et me donne la liste des questions auxquelles je pourrais répondre pour définir ma pratique et ce qui lui donne sens.
    Pour des raisons de santé il est nécessaire que je minimise mon investissement dans une activité qui est susceptible de la dégrader
    en la réduisant à ce qui n'engage que le "tout fait"
    Merci à ceux tous ceux qui font vivre ce lieu.
    En vous souhaitant que les pistes évoquées dans le courrier récent de la ministre deviennent des voies
    compatibles avec les exigences des contrôleurs d'activité.
    Cordialement.
    --
    Luc Comeau-Montasse

    https://lite5.framapad.org/p/Mes_mots_me_reviennent
    --- Fin de citation ---

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    1. JC Salmon a répondu :
      --- Citation ---
      C'est la "définition" que j'avais retenue d'une rencontre IREM :
      • gratuité -> il ne faut pas viser l'acquisition d'un savoir ou d'une compétence (ce qui ne veut pas dire que ça ne permet pas d'apprendr)
      • liberté de participer ou non, ce qui pose comme tu dis un problème en classe.
      --
      JC Salmon
      --- Fin de citation ---

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