vendredi 13 mai 2016

Alea jacta est !


À la rentrée de 2015, j'avais commencé à rédiger ce que je voulais être un
« livret de fin de troisième », que tout collégien pourrait emporter avec lui, en seconde.

J'en avais même présenté quelques pages aux journées nationales de l’APMEP, en octobre, à Laon :


Mais la réforme est venue, et avec elle, insidieusement, une question : et pourquoi pas un vrai manuel du cycle quatre ?

Au début, c'était à peine une question. Une rêverie, peut-être. Mais une rêverie qui insistait.

Alors, un jour, je me suis mis à y réfléchir sérieusement.

Pourquoi pas ?

Après 40 ans d'enseignement - dont 35 en collège, après une dizaine d'années de participation à des groupes académiques de réflexion, après, surtout, ces dernières années de cours où tout « passait » presque sans effort, il me semblait en avoir la légitimité... En tout cas, pas moins de légitimité que d'autres !

Et puis, il y avait «... Donc, d'après... » :

il avait plu - il plaisait même encore ! - et il avait été l'un des cinq nominés au Prix Tangente 2014. Même s'il n'avait pas eu le prix, c'était déjà, pour un premier livre, assez exceptionnel et je n'avais pas à en rougir :


Alors ?

Alors j'ai passé quelques semaines - quelques mois ? - à décortiquer les textes officiels, à tenter d'en faire émerger une structure avec laquelle je pouvais
« entrer en résonance », à échafauder des progressions et des plans de livre, à rassembler et à relier entre elles mes notes de travail, mes fiches de cours...

Je n'ai finalement commencé l'écriture que bien tard... Mais pas trop tard : une fois lancée, la rédaction avance vite, et ce manuel sera disponible sous sa forme imprimée chez l'éditeur « Mathémagique.com », fin août.

Plaira-t-il ?

Je n'en sais rien, vraiment rien !

Certainement pas à tout le monde : tout comme «... Donc, d'après... », il repose sur une conception des mathématiques du collège et de leur enseignement qui me convient, qui a convenu à la très grande majorité de mes élèves... Mais c'est tout ce que je peux en dire : je ne crois pas en une pensée unique, en une « méthode » unique d'enseignement, ni bien sûr en un modèle de professeur !

Vous pouvez avoir un avant-goût de ce que sera ce manuel - et de ce qu'il ne sera pas - en cliquant ici (une fois édité, il sera évidemment en consultation libre en ligne !) :


Un presque dernier mot : comme les fées de J.M. Barrie, comme Clochette, j'ai besoin de savoir que vous croyez – éventuellement –  en ce que je fais (c'est bien mon seul point commun avec Clochette !)

Alors, critiquez, posez des questions, participez : laissez des commentaires, ou écrivez-moi directement à

           philippe@colliard.fr

Et si vous aimez cet aperçu du manuel, parlez-en : plus il y aura de collèges à le commander, plus « Mathémagique. com » pourra en « serrer » le prix…

Et plus j'aurai d'enthousiasme, d'ardeur à l'ouvrage en ce qui concerne ses
« produits dérivés » : dissection du livre (lecture commentée et quelques pistes d’utilisation) et propositions de progressions pour les profs, site Wims, et peut-être même (un jour) cahiers d'exercices pour les élèves!

Enfin, à propos de prix, le manuel complet (Entre 130 et 180 pages, en 1 ou 2 tomes - nous hésitons encore) coûtera au maximum 9 € TTC.

A dans une quinzaine de jours, si vous le voulez bien ?

Avec des précisions supplémentaires :)

Merci de votre fidélité à ce blog

Philippe Colliard

31 commentaires:

  1. JC a écrit :

    --- Citation ---
    Bonjour,

    Que de texte !
    Les élèves que j'ai en ZEP ne liraient même pas un paragraphe.

    Et pour les relatifs, je pense que c'est bien trop long,
    pour l'addition je ne procède pas comme-ça,
    avec l'image mentale des lentilles, les élèves n'ont besoin d'aucune règle ni algorithme (ils ne sont pas des machines)
    pour calculer correctement dans toutes les situations mettant en jeu des nombres pas trop grands
    (avec quelques erreurs de retenue quand même)
    Comme ils trouvent l'addition simple (j'insiste, même les plus faibles savent compter, et quand je dis faibles, croyez-moi !),
    on voit beaucoup plus clairement que c'est le passage aux décimaux qui pose problème.

    Les élèves réussissent d'ailleurs bien mieux depuis que j'utilise des lentilles que quand je parlais d'ascenseur ou de déplacement.
    Le "robot" ne fait à mon avis qu'introduire un matériel superflu, et peut même noyer des élèves fragiles en présentant une situation pseudo-réelle.

    Et il est dommage de redéfinir la soustraction
    (comme on le fait dans un groupe quand on construit les ensembles)
    au lieu de la prolonger et de montrer pourquoi nécessairement soustraire revient à additionner l'opposé.
    (la soustraction est l'opération qui permet de calculer une différence,
    une différence étant un nombre manquant dans une addition à trou)
    en imposant "le premier nombre ne change pas" et "on change le signe du deuxième".
    On tombe sur du procédural au lieu de donner du sens à ce qu'on fait.

    À signaler, l'origine du mot "relatif" n'est pas celle signalée,
    cela vient du fait qu'un relatif est une différence,
    ce qui est cohérent avec la construction de ZZ comme ensemble quotient de INxIN
    par la relation d'équivalence (a,b)R(c,d)<=> a+d=b+c
    [(a,0) (noté a) etant donc équivalent à tout (a+k,k) et (0,a) (noté -a) étant équivalent à tout (k,a+k)

    Pour la multiplication, par contre, c'est clair car la méthode s'appuie sur le prolongement de propriétés,
    en particulier la distributivité.

    JC
    --- Fin de citation ---

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    Réponses
    1. Philippe Colliard a répondu :

      --- Citation ---

      Bonjour JC,

      > Que de texte !
      > Les élèves que j'ai en ZEP ne liraient même pas un paragraphe.

      Non, mais tu pourrais le leur faire découvrir :)
      ... Et peut-être qu'ensuite, ils s'y mettraient un petit peu ?
      Un manuel me semble être une prolongation d'un cours,
      pas une intro au cours...

      Par ailleurs, il me semble que les livres "avec texte" - lorsque ce
      texte essaie de construire quelque chose, ne sont pas condamnables,
      même à propos de mathématiques,
      pas plus que l'idée de ne pas les associer a priori à un public
      déjà "évolué".

      Pour le reste, nous ne procédons visiblement pas de la même façon,
      et ça ne pose pas de problème.
      Evite tout de même de laisser entendre que je privilégie
      les algorithmes et le caractère mécanique des opérations,
      alors que tout au contraire, j'essaie de les re-situer !
      Et alors que je me suis toujours battu contre le côté "technique"
      de notre enseignement des maths :)

      Une remarque, tout de même :
      tu sembles d'accord pour "faire du Bourbaki" (pour moi, c'est LOIN
      d'être une insulte) pour la construction des relatifs
      ou pour la multiplication, mais pas pour la soustraction ?

      Amicalement,

      Philippe Colliard

      PS : je ne suis pas du tout d'accord sur ton interprétation du
      mot "relatif", particulièrement appuyée sur les classes de NxN,
      qui ont structuré Z bien après son utilisation.
      ... Mais ça me paraît anecdotique.

      --- Fin de citation ---

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  2. Marie a écrit :

    --- Citation ---
    Bonjour
    Cette année j'ai utilisé des pièces d'Othello ( 1 côté noir, 1 côté blanc )
    C'est vraiment très bien passé !

    La soustraction ( qu'on avait symbolisé par la gomme ) est un retournement de la pièce, qui change donc de couleur !

    A+
    Marie
    --- Fin de citation ---

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  3. JC a écrit :

    --- Citation ---
    Bonjour,

    Voici ce que je propose à mes élèves,
    c'est très éloigné de ce que j'ai vu dans l'article dont j'ai fait la critique.

    http://cocluses.org/mathetmaths/5e/6_nombres_relatifs/index.htm

    Je préfère en général la discussion sur le fond à l'autosatisfaction,
    mais dans ce cas précis je vois vraiment un progrès énorme des élèves,
    et avec une image mentale qui n'a rien à voir avec un moyen mnémotechnique
    ou un apprentissage par cœur d'algorithme ou de méthode mécanique.

    Ce que j'appelle image mentale, après en avoir discuté avec un collègue qui est proche de la recherche
    (et qui évite également l'autosatisfaction),

    c'est une situation clé qui permet à l'élève de raccrocher quand il y a surcharge cognitive.

    Par exemple, quand en 4e on apprend la multiplication, puis la division ou l'écriture fractionnaire,
    les élèves mélangent (et c'est normal, surtout pour les plus fragiles) les règles de calcul,
    et appliquent une "règle des signes" quand ils écrivent -4-3 = +7 par exemple.
    Quand dans ce cas je leur dis "les lentilles !", la situation-clé leur revient en tête et ils comprennent/ne font plus l'erreur.

    Cette question des images mentales est à mon avis très importante,
    car elle montre à la fois que l'élève peut retenir ce qu'il a appris dans les années précédentes
    et que même si un élève a compris, une surcharge peut conduire à des erreurs.

    Je suis à la recherche d'images mentales pour toutes les notions que nous enseignons,
    mais attention, je n'appelle pas image mentale un moyen mnémotechnique ou une procédure (désolé de répéter),
    car une image mentale doit permettre d'aller plus loin ensuite,
    ce qu'une procédure ou un moyen mnémotechnique (en éloignant du savoir au lieu d'y coller) empêche au contraire.

    L'image mentale est ce que l'élève construit grâce à nous ou parfois malgré nous,
    elle peut être erronée, et nous n'y avons généralement pas accès.
    Si nous soignons notre préparation pour favoriser la construction d'une image plutôt qu'une autre,
    nous influençons la façon dont l'élève apprend, ainsi nous pouvons éviter les écueils.

    Ainsi, la géométrie donne naturellement des images mentales,
    par exemple la figureclassique de Pythagore avec les carrés costruits sur les côtés,
    et plus généralement toutes les figures-clé qui illustrent des théorèmes
    (Thalès, milieux, droites remarquables, angle droit inscrit, angle inscrit en général),

    et il faut aussi des images mentales pour le domaine numérique
    (bande unité qu'on plie, tableau de numération, droite ou demi-droite graduée,
    mais aussi rédaction alignée, rectangles pour la distributivité, carrés pour les identités
    par contre les flèches sont tendancieuses parce qu'elles font oublier les opérations,
    et il n'est pas rare de voir (a+b)(c+d) = ac + ad x bc + bd,
    erreur qu'on attribue à un mauvais apprentissage par cœur, mais qui est en réalité une mauvaise compréhension,
    attribuable au prof plus qu'à l'élève)

    J'arrête la liste, je tenterai peut-être de faire un document
    si cette stupide réforme m'en laisse le temps.

    Pour moi l'image mentale du robot est mauvaise pour plusieurs raisons.
    D'abord elle se veut moderne : un robot plutôt qu'une souris pour "plaire"
    alors qu'il faut faire confiance à la matière, un élève n'a pas peur du jargon,
    ni de la technique, il le prouve dans les domaines qui l'intéressent (le foot, les jeux vidéo où ils comprennent très bien la notion de ratio p. ex.)
    De plus, ce robot qui marche en avant, en arrière, ou se retourne, voire marche la tête en bas ne fait que compliquer des choses qui sont simples avec les lentilles.
    --- à suivre ---

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  4. --- Suite ---
    C'est ce qu'on pourrait appeler une "fausse bonne idée", comme on en voit dans les manuels récents :
    beaucoup de couleurs, de dessin, des exrecices qui parles de choses actuelles (sauf l'EPI de Claude François qui date un peu),
    mais peu de réflexion en lien avec la recherche ou (justement) les images mentales que cette activité va induire chez l'élève.

    Se mettre à la place de l'élève est difficile, même impossible puisque les élèves sont différents,
    et quand on dit "ça n'a pas trop mal marché avec mes élèves", ça me fait l'effet d'une fausse modestie mêlée d'autosatisfaction,
    (qui ne me mettent pas en confiance)
    car on est bien en mal de dire quelle image gardent les élèves, à part constater qu'en moyenne ils sont contents,
    ce qui n'est pas un critère selon moi, en tout cas pas un critère suffisant.

    Pardon si c'est un peu désagréable, je livre là mon impression, qui n'engage que moi,
    et c'est justement une critique et non un plébiscite que l'auteur demandait.

    Vous pouvez également critiquer les documents que j'ai mis en lien,
    je trouve moi-même qu'il y a des longueurs pour la soustraction et que j'ai du mal à aboutir à l'essentiel
    (constater qu'enlever des rouges c'est comme ajouter des vertes, et idem en échangeant les couleurs).

    JC
    --- Fin de citation ---

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  5. JC a écrit :

    --- Citation ---
    Bonjour,

    > Marie a écrit :
    > Cette année j'ai utilisé des pièces d'Othello ( 1 côté noir, 1 côté blanc )
    > C'est vraiment très bien passé !
    >
    > La soustraction ( qu'on avait symbolisé par la gomme )
    > est un retournement de la pièce, qui change donc de couleur !

    Dans ce cas, soustraire est-il d'emblée défini comme "additionner l'opposé" ?
    Sans passer par des soustractions simples qui se contentent d'enlever ?

    Dans ce cas il faudrait justifier la cohérence entre soustraction "sensible" (j'enlève, je retire, j'ôte...)
    et la soustraction définie par le retournement de ce que tu soustrais (puis addition par regroupement)

    pour moi, le retournement serait l' "opposition" (on voit bien ici que c'est une symétrie)
    (chez moi c'est le changement de couleur, et là le retournement est sans doute une meilleure image mentale)

    JC
    --- Fin de citation ---

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  6. Jean-Jacques D. a écrit :

    --- Citation ---
    > > Cette année j'ai utilisé des pièces d'Othello ( 1 côté noir, 1 côté blanc )
    > > C'est vraiment très bien passé !
    > >
    > > La soustraction ( qu'on avait symbolisé par la gomme )
    > > est un retournement de la pièce, qui change donc de couleur !

    > Dans ce cas, soustraire est-il d'emblée défini comme "additionner l'opposé" ?
    > Sans passer par des soustractions simples qui se contentent d'enlever ?

    Pas du tout. Il est bien question de retirer, regarde la vidéo :

    https://youtu.be/BqzpBhtV2LA

    --- Fin de citation ---

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    Réponses
    1. Philippe Colliard a écrit :

      --- Citation ---
      Bonjour JC,

      > Pardon si c'est un peu désagréable, je livre là mon impression, qui
      > n'engage que moi,
      > et c'est justement une critique et non un plébiscite que l'auteur
      > demandait.

      c'est plus que "un peu désagréable",
      mais tu es tout pardonné :)

      Quelques points sur lesquels je vais tout de même réagir :

      sur la forme,
      j'apprécie moyennement que tu me soupçonnes de vouloir "faire
      moderne",
      avec des robots et tout plein de couleurs...
      Si j'avais voulu faire du commercial, je l'aurais fait,
      et ç'aurait été bien plus facile :
      pas de texte, plein d'exercices, des "règles" de cours
      et des "astuces" d'utilisation.
      ... Et bien sûr aucun lien, aucune construction, aucune charpente
      entre les chapitres !

      Sur la forme encore,
      j'assume totalement le "ça a bien marché, etc."
      Sans aucune modestie, fausse ou vraie, et sans autosatisfaction.
      Après avoir testé de nombreuses méthodes, après avoir durant
      toutes mes années d'enseignement, été constamment à l'écoute
      de mes élèves, à la recherche d'un enseignement qui à la fois
      dépasserait la simple prépa à l'interro suivante, la simple maîtrise
      d'une application, et passerait bien en classe,
      je suis capable d'être objectif sur mes résultats
      (et si je n'ai pas enseigné en ZEP, je l'ai fait en ULIS).

      Sur la forme, pour en finir :
      prétendre que je privilégie les "moyens mnémotechniques
      ou un apprentissage par cœur d'algorithme ou de méthode mécanique"...
      Euh, tu es sûr d'avoir vraiment lu ce que j'ai écrit ?
      Posément, je veux dire ?
      Parce que le cœur même de mon travail,
      c'est de se battre contre ça !

      Sur le fond, maintenant :

      pourquoi définir la soustraction à partir de l'addition ?
      Parce que la soustraction n'est ni commutative, ni associative,
      et donc mal adaptée aux manipulations.
      Et, à bien plus long terme, parce que c'est une première
      graine qui germera peut-être un jour vers la notion de groupe !
      La soustraction EST un "produit fatal" de l'addition,
      et n'est pas traitée comme une opération à part entière dès
      qu'on dépasse un tout petit peu le collège.

      De façon bien plus générale,
      mon souci est toujours d'introduire les éléments du collège
      de façon à pouvoir les intégrer à une vision plus générale
      des mathématiques : ils ne sont pas des morceaux de technique,
      juste bons à des interros, mais doivent permettre de
      s'exercer aux maths... De commencer à faire comprendre
      ce que les maths peuvent être - voire de commencer à les faire
      aimer :)

      Que dirait-on d'un prof de français qui se contenterait
      d'apprendre à ses élèves les rudiments nécessaires pour
      communiquer entre eux, et qui se refuserait à leur
      conseiller des livres parce qu'il y a trop de texte ?

      Bon, j'arrête là, ça fait un peu trop plaidoyer pro domo...
      J'espère ne pas avoir été désagréable.

      Amicalement

      Philippe Colliard

      PS : je ne répondrai pas aussi longuement à l'avenir, promis.

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    2. Philippe Colliard a ajouté :

      --- Citation ---
      Je voudrais revenir sur une remarque de JC,
      concernant le "robot la tête en bas":
      ce serait bien, JC, que tu m'accordes le bénéfice du doute,
      avant de me condamner...
      Je veux dire, que tu acceptes de partir de l'axiome
      que je ne cherche NI à faire moderne, NI à plaire
      à qui que ce soit par des artifices douteux, au détriment
      du sérieux de ce que j'écris :)

      Pourquoi le robot "la tête en bas" ?

      Parce que, dans la droite des réels, la symétrie entre
      les points d'abscisse positive et les autres est une
      symétrie CENTRALE, par rapport à l'origine, et non,
      comme bien des élèves l'imaginent, une symétrie par
      rapport à un axe perpendiculaire à la droite, et
      passant par l'origine.
      Outre qu'introduire cet axe est superflu,
      ça mène droit à la catastrophe dès qu'on introduit
      un repère du plan !

      Et, à propos de droite des réels, une grande partie
      de mon travail avec le robot a pour but de familiariser
      les élèves avec "cette droite" : avec l'idée qu'à
      chaque nombre correspond un point (et - plus tard -
      réciproquement). Bref de définir le nombres à partir des
      points d'une droite, et de préparer ainsi la suite...
      (Un vrai point de critique aurait été d'observer que,
      par la suite, mes robots avaient tous
      la tête en l'air ! J'ai longuement hésité, mais parfois,
      il faut tout de même faire quelques compromis...)

      TOUT se tient ; nombres, géométrie, fonctions...
      Le tout est de rendre le lien visible, ce que j'essaie
      d'obtenir.

      Enfin, j'ai été l'un des premiers à manifester mes
      réticences vis à vis de la réforme, et (je l'ai écrit
      dans mon blog) il m'a fallu beaucoup travailler pour en
      déterminer une approche avec laquelle je puisse
      "entrer en résonance".
      J'ai fini par y arriver, et en particulier pour
      l'algorithmique : loin de la considérer comme une
      série d'applications pousse-boutons imposées,
      j'ai tenté une rédaction simplifiée de programmes
      - oui, toujours à partir du robot :) - accessible
      aux élèves.
      Mais évidemment, l'idée d'imposer aux profs de maths
      une vulgarisation de l'algorithmique me dérange !
      (En tant qu'ancien concepteur de logiciels,
      je considère vraiment que l'informatique est un
      tout autre domaine !)

      Seulement, maintenant, ce qui était "projet de réforme",
      est devenu notre loi...
      Et nous sommes fonctionnaires.
      Autant essayer d'en tirer une "substantifique moelle" !!

      Voilà.

      Ai-je été suffisamment long, Michel ?

      Amicalement,
      --
      Philippe
      --- Fin de citation ---

      Supprimer
  7. Michel S. a répondu :

    --- Citation ---
    > […] Parce que, dans la droite des réels, la symétrie entre
    > les points d'abscisse positive et les autres est une
    > symétrie CENTRALE, par rapport à l'origine, et non,
    > comme bien des élèves l'imaginent, une symétrie par
    > rapport à un axe perpendiculaire à la droite, et
    > passant par l'origine.

    D'autant plus que "multiplier par -1" correspond à ce 1/2-tour. Et
    Argand nous a bien montré la voie : la racine carrée de -1 est en fait
    un quart de tour… Enfin, il me semble bien que c'est Argand qui
    interprétait les nombres complexes ainsi, non ?

    On retrouve cela aussi pour les inégalités : multiplier par -1 des 2
    côtés revient à faire un 1/2-tour ; d'où le changement de sens !

    > Et, à propos de droite des réels, une grande partie
    > de mon travail avec le robot a pour but de familiariser
    > les élèves avec "cette droite" : avec l'idée qu'à
    > chaque nombre correspond un point (et - plus tard -
    > réciproquement). Bref de définir le nombres à partir des
    > points d'une droite, et de préparer ainsi la suite...
    > (Un vrai point de critique aurait été d'observer que,
    > par la suite, mes robots avaient tous
    > la tête en l'air ! J'ai longuement hésité, mais parfois,
    > il faut tout de même faire quelques compromis...)

    Situation pourtant relative (comme les nombres…) et on pourrait faire un
    parallèle entre nous et les australiens : ont-ils la tête en bas ? Ou
    alors c'est nous ;-)

    Cordialement,
    --
    Michel S.
    --- Fin de citation ---

    RépondreSupprimer
  8. JC a écrit :

    --- Citation ---
    Hello,

    Je me suis inspiré de la vidéo de Gilles Jobin,
    et j'ai voulu
    • faire manipuler les élèves
    c'est-à-dire aller au-delà d'un simple discours théorique
    • utiliser des objets faciles à manipuler
    au départ j'ai trouvé dans un magasin bio des haricots mungo et azuki (verts et rouges)
    mais c'était très difficile à coller, trop gros.
    J'ai cherché plus petit, et j'ai trouvé les lentilles corail (orange mais les élèves les admettent rouges) et les (fameuses) lentilles vertes du Puy.

    J'hésite toujours entre "rouge" pour "négatif" (c'est assez moral) et vert pour "positif"
    et "rouge" pour "chaud", bleu pour "froid" et vert pour zéro,
    car les températures sont également une bonne image mentale pour la soustraction quand le nombre qu'on soustrait
    a une valeur absolue supérieure à celle du nombre auque on soustrait.

    Pour la multiplication, je n'ai pas d'image mentale disponible,
    les lentilles ne conviennent pas,
    mais j'utilise avec les entiers la définition de la multiplication (0xa=0 et 3xa = a+a+a [très utile aussi pour comprendre que 4a + a = 5a, mais c'est un autre sujet])
    et le prolongement des propriétés (commutativité, distributivité)
    pour démontrer que nécessairement - x - donne +

    Peut-être qu'on peut construire une image mentale à partir de la multiplication par -1,
    qui est très importante :
    • c'est une symétrie (donc retournement du jeton d'othello, ou changement de couleur)
    • dans les équations elle permet d'éviter des erreurs
    • elle permet d'éviter la règle procédurale "quand une parenthèse est précédée d'un signe "-", ..." car elle la rattache à la distributivité
    • elle permet de justifier que l'opposé d'une somme est la somme des opposés (c'est encore une unification avec le 3e •)
    • c'est une relation de proportionnalité intéressante (homothétie, et linéarité de l'opposé si on prend le 3e et le 4e •)

    Pour la soustraction,
    trouver plusieurs représentations d'un même nombre permet de se rapprocher de la construction mathématique de ZZ,
    mais en restant proche de la soustraction connue et comprise par les élèves (enlever des choses qui existent).

    Ainsi, +3 représenté comme VVV ou VVV[VR] ou VVV[VRVRVRVRVR] etc
    permet réellement de retirer ce qu'on veut :
    (+3) - (-5) = VVV[VRVRVRVRVR] - RRRRR = VVV[VVVVV]
    permet de voir en manipulant que soustraire 5R revient à additionner 5V
    Ce qui est loin d'être évident à expliquer,
    et encore plus difficile à comprendre à partir d'un discours.

    JC
    --- Fin de citation ---

    RépondreSupprimer
  9. Michel S. a répondu :

    --- Citation ---
    Bonsoir,

    > Je me suis inspiré de la vidéo de Gilles Jobin,

    Il y a peut-être plusieurs vidéos ; celle que je connais est basée sur
    un texte de Gilles Jobin mais la vidéo est de Jean-Jacques Dhénin, avec
    Sacha.
    http://www.clg-monnet-briis.ac-versailles.fr/spip.php?article299

    > Pour la multiplication, je n'ai pas d'image mentale disponible,

    Ce que j'utilise, c'est une table de Pythagore étendue : les élèves
    complète dans un premier le quadrant positif×positif puis observe
    quelques propriétés.

    Ensuite, on se sert de ces propriétés pour la compléter dans les autres
    quadrants… On arrive à la conclusion que les 2 quadrants contiguës au
    1er quadrant ne peuvent contenir que des nombres négatifs et le quadrant
    négatif×négatif ne peut contenir que des nombres positifs.

    > les lentilles ne conviennent pas,

    En fait, il me semble qu'une de nos Irem avait imaginé une mise en
    situation avec des aires de rectangles positives et des aires de
    rectangles négatives selon le sens de rotation pour passer d'un côté du
    rectangle à l'autre.

    Je ne me souviens plus des détails de ces utilisations d'aires positives
    et négatives mais j'avais trouvé cela un peu trop abstrait pour emporter
    la conviction des élèves. En plus, on se serait perdu dans des
    difficultés théoriques en oubliant le but fixé…

    L'utilisation de la table de multiplication étendue permet en fait de
    mettre en œuvre des propriétés élémentaires reliant addition,
    soustraction et multiplication. On révise aussi les propriétés de
    l'addition et de la soustraction vues en 5ème.

    Une fois les propriétés visibles sur la table de Pythagore, il suffit
    d'adopter 2 coloriages selon qu'une case est occupée par un nombre
    positif ou négatif, et énoncée comme une synthèse du travail effectué,
    il y a toujours un élève pour faire le lien avec l'affirmation que les
    amis de nos amis… En quelque sorte, on multiplie nos amis, ou nos
    ennemis ! C'est un modèle (idéal ?) car, dans la réalité, certains amis
    de nos amis ne sont pas forcément nos amis … Ce serait trop simple !

    À+,
    --
    Michel S
    --- Fin de citation ---

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  10. JC a répondu :

    --- Citation ---
    Bonsoir,

    La table est intéressante,
    si on la représente par z=xy, on obtient un truc sympa :-)
    --
    JC
    --- Fin de citation ---

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  11. Rudolf B. a répondu :

    --- Citation ---
    Il y a dans un Bulletin Inter-IIREM de 1988 ou 1989 consacré à l'histoire des mathématiques un article de Jacky Sip sur la multiplication des nombres via les aires de rectangle. On doit trouver ce bulletin dans les IREM.
    --
    Rudolf
    --- Fin de citation ---

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  12. JC a écrit :

    --- Citation ---
    C'est l'article que je critique, pas la personne.
    certains contenus et certains arguments.
    Je ne vois jamais de place pour le doute dans tes réponses,
    c'est un choix ou un besoin certainement,
    mais ça met la puce à l'oreille, car c'est contraire à l'esprit de la recherche,
    et même quelqu'un qui enseigne longtemps peut s'être trompé toute sa vie.
    Ce qui fait avancer, c'est l'écoute de la critique, pas la certitude.

    As-tu seulement regardé ce que je propose pour en faire une critique
    au lieu de te focaliser sur ton œuvre ?

    Si on prolonge la symétrie en dimension 1 avec un dessin en dimension 2 (je ne sais pas si c'est pertinent),
    on a le choix de la symétrie qu'on utilise.

    Quand bien même il y aurait deux axes, la symétrie axiale autour d'un de ces axes multiplie bien l'une des coordonnées par -1, pas l'autre,
    la symétrie de centre O multiplie les deux.

    Je ne suis pas du tout certain que la symétrie soit centrale,
    et j'aimerais savoir à quelle catastrophe les élèves qui voient une symétrie axiale vont droit,
    car bien des pratiques gestuelles pour montrer "gauche et droite" utilisent les mains (qui sont chirales par définition),
    et quand un élève trace de droite à gauche, il ne trace pas sous la règle.

    Je crois que l'affirmation est rapide et mériterait d'être approfondie.

    Par exemple, il faudrait savoir si un élève qui retourne un jeton d'othello (et opère donc en dim 3 une symétrie axiale, donc un déplacement)
    peut imaginer que cette symétrie puisse être par rapport à un plan, ce qui serait pratique pour retourner en même temps plusieurs jetons non alignés,
    et voir un retournement global au lieu de multiples retournements simultanés.

    ---

    La droite est un élément très important pour comprendre les nombres,
    par exemple placer des fractions est à mon avis fondamental dans le processus
    qui permet à l'élève d'ajouter la conception "fraction nombre" à la conception "fraction partage",
    qu'on retrouve dans la notion de grandeur quotient (quotient comme rapport de grandeurs ou comme grandeur soi-même)
    --
    JC
    --- Fin de citation ---

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    Réponses
    1. Philippe Colliard a écrit :

      --- Citation ---
      Sur la symétrie centrale :
      j'ai vraisemblablement exagéré la catastrophe...
      Mais faire intervenir une symétrie axiale encourage les élèves
      à se réduire, par la suite, aux axes orthogonaux,
      avec les erreurs classiques de repérage d'un point en axes obliques.
      Quant à l'extension de la symétrie d'un espace de dim 1 à un espace de
      dim 2,
      je ne la vois pas : mes dessins, droite graduée et robot compris,
      peuvent
      dés le départ être interprétés en dim 2, non ?
      --
      Philippe Colliard.
      --- Fin de citation --

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  13. Arnaud C a écrit :

    --- Citation ---
    Pour les relatifs,
    j'utilise des cartes à double face,
    d'un côté rouge (positif ou gain).
    de l'autre bleu (négatif ou perte).
    Une carte représente une unité.

    La somme est fondée sur :

    1 rouge + 1 rouge = 2 rouges ... (résultat connu)
    1 bleu + 1 bleu = 2 bleus ... (transposition du résultat connu)
    1 rouge + 1 bleu = 0 (découlant de + 1, écriture raccourcie de 0 + 1
    et - 1, écriture raccourcie de 0 - 1)

    La somme de deux nombres de signes contraires
    découle de ces trois principes.

    Les soustractions possibles physiquement
    rendent compte des soustractions "simples" :

    (+5) - (+3) (5 gains - 3 gains = 2 gains)
    ou (-6) - (- 4) (6 pertes - 4 pertes = 2 pertes)

    Les soustractions impossibles physiquement
    sont les plus stimulantes !

    Par exemple : (+3) - (- 2)
    soit ôter 2 pertes à trois gains.
    Impossible d'enlever physiquement 2 bleus à trois rouges.
    D'où ajout de la somme nulle : 2 rouges + 2 bleus
    aux trois rouges de départ pour rendre l'opération physique possible.
    D'où l'opération : (+3) - (- 2) + (+2) + (- 2)
    Résultat : il reste 5 rouges.
    Illustrant au passage la nécessité de passer par l'addition de l'opposé.

    Enfin, dans ce modèle,
    la multiplication par (- 1), seul principe supplémentaire,
    s'interprète comme un retournement de carte.

    Je dispose d'un doc. Word expliquant cela
    avec des dessins de cartes pour qui serait intéressait.
    --
    Arnaud C.
    --- Fin de citation ---

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  14. Isabelle a écrit :

    --- Citation ---
    Bonsoir,

    je veux bien ces cartes .......merci d'avance

    Pour ma part je peux témoigner de mon expérience en soutien de maths en 4ème

    J'avais des élèves perdus ....j'ai lancé un SOS sur la liste...En retour j'ai reçu plein de liens ...et je me suis servie avec succès des lentilles et de la vidéo de Jobinerie..

    Je peux vous dire que les enfants ont adoré manipulé et que SURTOUT ça marche !!!!!

    J'en ai rattrapé avec cette méthode, je vous assure ...pas forcément tous mais même ceux qui étaient les plus désespérés s'étaient mis à croire dans la possibilité d'y arriver et dans certaines copies j'ai même eu le plaisir d'y voir des lentilles dessinées pour réfléchir là où avant il n'y avait aucune trace écrite ....

    Et pas le moindre des plaisirs, comme je l'avais rapporté sur cette même liste, être le prof qui explique avec des lentilles ...ça vaut son pesant de cacahuètes !!!! Vous rajoutez à cela l'inégalité triangulaire avec des spaghettis et vous faites un bon repas !!!!!

    pour parfaire le retour de cette expérience, il m'arrive d'expliquer qu'il y a 2 armées, l'une positive et l'autre négative ( comme dans leur jeu vidéo) qui doivent planter en haut de la colline un seul drapeau( + ou - ) et que lorsqu'un soldat positif fait face à un négatif, ils disparaissent .....( je me suis inspirée là aussi d'un prof qui présentait cela avec les soldas star wars ...)..

    Et donc imaginer combien il restera de soldats " en hauts" et quel drapeau y sera planté ....

    je sais que sur cette liste il y a des petits génies de l'animation ..alors si il y en a un qui sait mette ça en animation je suis preneuse !!!!

    Bref je reconnais volontiers que je ne suis pas là très " mathématiques" et je ne sais pas trop ce qu'un inspecteur me dirait mais puisque j'ai l'impression d'en rattraper quelques uns comme cela pourquoi m'en priver et les en priver ?

    Merci à tous pour vos riches débats ..et pour l'aide que vous apportez !

    Isabelle
    --- Fin de citation ---

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  15. Salut Isabelle,

    > Bref je reconnais volontiers que je ne suis pas là très " mathématiques"
    > et je ne sais pas trop ce qu'un inspecteur me dirait mais puisque j'ai
    > l'impression d'en rattraper quelques uns comme cela pourquoi m'en priver
    > et les en priver ?

    Un inspecteur pourrait dire que les maths ne sont pas des recettes de cuisine,
    et qu'une approche plus mathématique pourrait marquer la mémoire des bons et
    moyens élèves, mais en tant que méthode de remédiation, pour ceux qui n'ont
    pas accroché à la vision matheuse, c'est intéressant et efficace.

    Ceci étant dit, venant d'un inspecteur, ce qui est affirmé sans preuve peut
    être réfuté sans preuve, (mais pas au moment même de l'inspection ;-) )

    Amicalement,
    --
    Mateo.

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  16. Dominique a écrit :

    --- Citation ---
    J’ai utilisé avec beaucoup de profit ce principe et je n’ai plus eu de rejet face à la règle qui en découle ensuite : elle leur a paru”légitime”
    J’ai conservé – et utilisé – une bonne partie de l’année une poignée de ces pions pour les ressortir à chaque blocage, aussi bien en 5e qu’en 4e.
    J’ai trouvé que cette méthode passait bien plus en douceur que les sommes à trous qui, elles, supposent d’avoir déjà vu une construction du lien addition-soustraction dans IN sous cette forme, ce qui n’est pas forcément le cas pour tous.

    Pour la fantaisie, j’avais même réalisé en diaporama une double version :
    * des princes et princesses, chaque couple formé partant dans son château (et en revenant si besoin pour les différences)
    * des “schmurz” et des”glorbs” aliens ennemis se massacrant allègrement mais pouvant “ressusciter” si besoin
    Comme je leur raconte ces histoires en thêatralisant un max, le succès est garanti et imprime une image durable.
    Puis ce n’est pas si souvent qu’on peut ainsi digresser et s’amuser en math.
    --
    Dominique
    --- Fin de citation ---

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  17. Jean-Jacques a répondu :

    --- Citation ---
    Bonjour,

    nous créons, certes, des images mentales « dans la tête » de nos élèves,
    et je ne critique pas cette méthode
    puisque j'ai réalisé le film utilisant les pions noirs et blancs en 2008
    http://www.gilles-jobin.org/jobineries/index.php?2008/05/16/753-d-ici-a-la-france

    Cependant, je me demande quelle image des élèves nous avons dans « nos » têtes
    quand nous leur proposons des métaphores de princesses, de “schmurz” et des”glorbs”
    ou quand nous acceptons ces livres de math où les illustrations plus ou moins humoristiques
    détournent l'attention au lieu de se limiter à proposer une aide à l'interprétation.
    --
    Jean-Jacques
    --- Fin de citation ---

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  18. Mathieu D. a écrit :

    --- Citation ---
    Bonjour,
    Mon retour d’expérience de mes 3 classes de 5ème que j’ai eu cette année.
    En me servant de votre discussion, j’ai construit mon activité pour l’addition des relatifs en m'appuyant sur la vidéo http://mathix.org/linux/archives/4469
    et j’ai enchaîné sur une fiche d’activité que j’ai présenté à la suite de la vidéo.


    Ainsi, j’ai leur ai expliqué la méthode pour le calcul d’addition :
    A = (+7)+ (-10)
    A = ( +7) + (-7) + (-3)
    A = (-3) ( (+7) + (-7) = 0 )

    Mais des élèves préféraient faire directement en faisant implicitement une autre méthode :

    A = (+7)+ (-10)
    A = - ( 10 - 7)
    A = - 3

    Du coup, j’ai navigué avec ces deux méthodes, ce qui a permit à des élèves de choisir la méthode qui leur convenait le plus. Mais cela aussi pour conséquence d’en perdre certain.
    J’aime bien la première méthode car elle permet de les initier à l’algèbre et au résolution d’équation.
    Mais on ne peut pas forcer les élèves à adopter une méthode, alors qu’ils savent que l’autres est efficace.
    Ils prennent cela pour de l’autoritarisme et ça les braquent.
    Le bilan sur l’addition avec cette méthode était plutôt satisfaisant.

    Pour la soustraction, j’ai simplement énoncer la règle : « soustraire un nombre revient à additionner son opposé »
    sans aucune image mentale car je n’ai pas eu le temps d’y réfléchir. Le résultat est bien moins satisfaisant.
    Les bons élèves y sont tous arrivés, en revanche les autres ont rien pigés et se sont emmêlés les pinceaux.
    Du coup, l’année prochaine je refais une autre fiche avec une image mentale pour les soustractions.
    --
    A+
    Mathieu
    --- Fin de citation ---

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    Réponses
    1. Alexandre C. a écrit :

      --- Citation ---
      Bonjour à tous,

      merci pour toutes ces réponses et cette plaisante discussion.

      Je croyais pouvoir m'économiser du temps en ne précisant pas les
      éléments de contexte qui ont fait naître cette question mais c'était, je
      m'en rends compte maintenant, très naïf d'imaginer qu'une expression
      algébrique quelle qu'elle soit puisse dire quelque chose par elle-même
      (d'autant qu'il s'agit ici de s'adresser à des élèves qui découvrent ce
      nouveau jeu d'écriture symbolique).

      L'élève qui pose cette question n'a encore jamais entendu parler de
      calcul sur les relatifs.
      Lui est présentée une activité visant à déterminer la moyenne de -10 et
      de 6.
      L'activité lui propose de placer -10 et 6 sur un axe gradué, de
      déterminer l'écart entre ces 2 nombres ("écart = 10+6=16") puis de
      calculer la moitié de cet écart pour conclure que la moyenne se trouve à
      8 à droite de -10 et à 8 à gauche de 6.
      Le professeur, lorsqu'il signale sur le dessin du tableau le saut de 8
      vers la droite prononce "plus 8" et s'arrête sur -2 (la moyenne est
      trouvée).
      L'élève demande alors "mais pourquoi n'avez-vous pas dit -10 moins 8
      puisqu'on arrive à -2 ?"
      Le professeur balbutie "non, tu vois, un mouvement vers la droite, c'est
      "plus". Ça se passe comme ça du côté des positifs donc ça se passe aussi
      comme ça du côté des négatifs."
      L'élève dit : "Ah d'accord, c'est ça, la règle."
      Le professeur s'étrangle car pour lui, le mot "règle" renvoie à
      l'arbitraire et s'en sort avec un truc du genre : "Non, ce n'est pas une
      règle. Si on choisit d'appeler "moins" ce mouvement de -10 vers -2, on
      va aboutir rapidement à des problèmes et à des contradictions".
      L'élève, poli, répond "Ah d'accord !"
      Le professeur écrit aussitôt à ses copains sur la liste maths-college
      pour dire qu'il vient encore de se faire embêter par un de ses élèves.

      Après lecture des différents mails, il est évident que si le professeur
      avait commencé par un modèle comme celui des "lentilles et des
      anti-lentilles" ou des "déplacements sur un axe", la question ne se
      serait pas posée car d'entrée s'impose une RÈGLE du jeu qu'il n'est pas
      question de discuter (ou alors, ça m'intéresserait de connaître la
      nature de ces discussions).
      Après réflexion,
      la règle que proposait l'élève qui était d'appeler "moins" un mouvement
      vers 0 et "plus" un mouvement qui s'en éloigne est loin d'être absurde :
      -10 + 2 : j'ai 10 euros de dettes et zut ! encore 2 de plus
      -10 - 2 : j'ai 10 euros de dettes mais chouette on m'en retire 2
      x+2 > x car -12 > -10 (je suis PLUS endetté avec -12)
      --- à suivre ---

      Supprimer
    2. --- Suite (Alexandre C.) ---

      Quels problèmes cela pose-t-il ?

      1. Si cette addition "étendue" doit encore être commutative alors -10 +
      2 = 2 + (-10)
      Où il en est de sa réflexion, l'élève n'a clairement jamais pensé qu'il
      fallait qu'on invente 2 + (-10) qui n'a strictement aucun sens pour lui.
      Et si vraiment on insiste : y'a qu'à dire que c'est commutatif et que 2
      + (-10) = -10 + 2 = -12 ;-)))

      2. Certaines soustractions sont interdites mais c'est pas nouveau : 3 -
      5 est interdite depuis que la maîtresse l'a dit, il y a quelques années.
      -3 - 5 le sera aussi, c'est tout ! Pourtant, à bien se souvenir, la
      maîtresse n'avait pas dit que c'était interdit mais qu'il faudrait aller
      dans les négatifs pour écrire le résultat ; mais justement, maintenant
      qu'on est en 5èmes, on en cause, des négatifs, et on fait des trucs
      avec, comme calculer une moyenne. Alors 3 - 5 = -2 ; ça semble un
      résultat plus qu'intuitif. Mais alors 3 - 5 + 5 = -2 + 5 = - 7. Aïe !
      D'habitude, dans les problèmes de billes, n - 5 + 5, ça faisait toujours n.
      Le professeur triomphe "Nous tenons NOTRE contradiction"
      et d'insister en bombant le torse :"Alors que si l'on pose que "moins
      5", c'est vers la gauche et "plus cinq", c'est vers la droite, 3 - 5 + 5
      = 3 et tout rentre dans l'ordre."
      Mouais, ça paraît plus logique d'un CERTAIN point de vue et l'élève
      pourrait être sensible à cet argument
      mais il pourrait aussi se dire que, du coup, cette RÈGLE est quand même
      beaucoup moins pratique pour faire -10 + 2
      :-((((

      Plus je creuse, plus je me dis que nous avons une addition sur IR+ à
      laquelle sont attachées des propriétés algébriques et des
      situations-problèmes particulières. Étendre cette addition à IR est un
      exercice algébrique qui consiste à conserver un maximum de propriétés
      lors de cette extension (la commutativité, par exemple). Alors qu'en
      collège, les opérations sont essentiellement présentées à travers les
      situations-problèmes qu'elles aident à résoudre. Ainsi, on se trouve
      devant l'impossibilité de justifier les règles du jeu des nouvelles
      situations (lentilles ; déplacements) parce que les élèves n'ont aucune
      idée de ce que l'on cherche à faire avec cette nouvelle addition.
      --- à suivre ---

      Supprimer
    3. --- Fin (Alexandre C.) ---

      Aussi, je crois très difficile de répondre à ma question initiale :
      Quel serait le plus petit argument justifiant que -10 + 2 = - 8 et non
      pas à -12 ?
      car un argument algébrique ne convaincrait que ceux qui auraient deviné
      (et comment pourraient-ils le faire ?) les enjeux de l'extension algébrique
      et les situations-problèmes proposées ne valent que par les propriétés
      algébriques qui les sous-tendent et que l'on ne saurait donc justifier
      leur emploi que par des arguments algébriques.

      Cela dit, certaines situations-problèmes et certaines propriétés sont
      plus intuitives que d'autres et peut-être existe-t-il un mélange savant
      des deux qui donnerait un argument justifiant l'égalité : -10 + 2 = - 8
      et non pas à -12

      Du coup, le concours continue.
      --
      Alexandre.
      --- Fin de citation

      Supprimer
    4. Alexandre C. a écrit :

      --- Citation ---
      Bonjour à tous,

      nouvelle tentative d'y voir clair :

      Hier, je fais un mouvement au tableau de -10 jusqu'à -8 que j'accompagne d'un commentaire : "plus 2".
      Un élève me demande : "pourquoi "plus 2" et pas "moins 2" ?"
      Il n'y absolument pas d'histoire de parenthèses là-dedans.
      La question se résume à :
      "plus 2" est-il un mouvement vers le haut ou un mouvement qui éloigne de 0 ?
      Suivant la réponse que l'on donne, on aboutit à deux extensions différentes, mais toutes deux logiques et cohérentes, de l'addition sur IR+.

      J'appelle E0, l'addition des nombres positifs associée à ses propriétés algébriques et à ses situations-problèmes propres que maîtrise un élève en fin de 6ème.

      J'appelle E1, l'addition sur IR associée à ses propriétés algébriques et à ses situations-problèmes propres que devrait maîtriser un élève en fin de 5ème.

      La question est celle de la gestion didactique du passage de E0 à E1.
      Il faudrait faire ici la liste de toutes les transformations qu'opère ce passage :
      (concours : compléter la liste ci-dessous) :
      * 3 + qqchose n'est plus nécessairement plus grand que 3 (c'était pourtant une propriété caractéristique de l'addition)
      * l'algorithme d'addition de deux décimaux n'est plus valide lorsque l'un deux est négatif (pire ! des fois on se sert de l'algorithme de soustraction pour résoudre une addition)
      * ... ??

      Certains enseignants proposent (et justifient ??) une rupture en posant :
      Soit E1, dans lequel les nombres attrapent un signe (par exemple : (+3) et (-2)) et où l'addition et la soustraction sont définies comme suit ... (ce nouveau monde est souvent associé à un modèle concret d'opérations de type "gains et pertes" ou "matière et antimatière" : on donne à l'élève un calcul de type (+3) + (-2) qu'il doit alors traduire dans le modèle (3 euros gagnés et 2 euros perdus) et résoudre la situation (bilan : 1 euro gagné) puis retraduire = +1).
      Plus tard, on "simplifie" l'écriture : ainsi quand l'élève voit 3 - 2, il doit le traduire mentalement par (+3) + (-2) puis sous la forme de perte et de gain puis retraduire deux fois en retour pour pouvoir écrire 3 - 2 = 1. Je plaisante. On lui montre qu'en fait, les calculs qu'ils savait déjà faire avant ou ceux pour lesquels il est certain de son intuition, il peut les effectuer comme avant et pour tous les autres, il se cogne son exercice de double traduction aller-retour.
      --- à suivre ---

      Supprimer
    5. --- Suite ---

      Certains autres enseignants cherchent à construire le passage de E0 à E1 sans rupture :
      De la soustraction connue, ils font construire de nouveaux cas (par exemple : 3 - 7) qui semblent être dans un prolongement "logique" (-7, c'est compter à l'envers de 7 et sur un axe avec les négatifs, c'est possible).
      En revanche, les additions et les soustractions dont le premier terme est négatif et le deuxième positif posent problème.
      "-3 + 5" et "- 3 - 5" ne font pas consensus.
      Et j'espère avoir démontré que c'était normal.
      Certains enseignant posent alors (et tentent de justifier ??) une extension E0,5 dans laquelle l'addition et la soustraction sont définies comme des mouvements (associée à une situation de déplacements sur un axe).
      Le passage de E0 à E0,5 se fait plutôt assez naturellement et sans rupture (ce sont bien des opérations sur les nombres que l'on connaissait déjà - et pas des nouveaux nombres avec leur lourde carapace - et on y reconnaît bien l'addition et la soustraction d'avant même si certaines situations peuvent être piégeuses).
      Le passage de E0,5 à E1 n'est pas évident et là encore, au moins deux écoles (une qui pose une nouvelle règle de mouvement : x - (-3) = x + 3 et inversement et tout est réglé sans passage à la lourde écriture et l'autre qui tente de justifier ces égalités par des propriétés algébriques que l'on conserve - pourquoi ? comment ? - de l'ancienne addition).

      Personnellement, je n'aime pas les ruptures (mais c'est peut-être psychologique) et je trouve indigeste l'écriture lourdifiée (dont il est question, dans un autre morceau de ce fil, de changer les codes de lourdification).
      Mais je sens bien qu'en didactique, il peut être parfois utile d'imposer des structures et des opérations (comme les algorithmes opératoires en primaire) avec lesquelles on se familiarise longtemps avant d'arriver à mettre le nez en-dehors et d'en refaire l'épistémo-génése. Comment pourrait-on présenter les mathématiques sous le canon euclidien (chaque étape étant construite sur les précédentes partant du couple (1 ; +) jusqu'au corps des complexes) à des élèves à mille lieues de deviner les enjeux de cet exercice ? Il faut bien visiter d'abord longtemps les mathématiques avant d'en apercevoir la possibilité de tout reconstruire selon des contraintes qui sont elles aussi à découvrir lors de la visite. Ainsi, notre rôle est d'accompagner à cette découverte de petits espaces du monde mathématique dans lesquels on peut explorer quelques premières relations entre les objets.

      Pour conclure cet encore trop long post, je crois qu'il y a une foultitude d'implicites qui justifient à nos yeux l'emploi de telle ou telle approche pédagogique et que la levée de ces implicites enrichissent ces approches car leur présence à l'esprit du prof le rendent plus vigilant à la réception qui en est faite par les élèves.
      --
      Alexandre C.
      --- Fin de citation ---

      Supprimer
  19. Jean-Jacques D a écrit :
    --- Citation ---
    L'un de ces implicites, à mon sens, concerne notre confusion des analogies et des symboles :

    Les relatifs sont analogues aux soldats, aux lentilles et autres pierres de Go
    qui nous ont mobilisé ces dernières années à la suite ou en même temps que l'article de Gilles Jobin (2005).

    En revanche, introduire de nouveaux symboles (¤10+@2.n m10 et p2) c'est ajouter une couche de formalisme
    qui n'a de sens que pour celui qui le propose. Ce n'est pas une métaphore.

    Cette confusion me semble induite par la minimisation de l'aspect conventionnel de la simplification
    de (-10) + (+2) en -10 + 2 tout comme les élèves écrivent lol ou mdr pour dire leur amusement.
    --
    Jean-Jacques
    --- Fin de citation ---

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    1. Alexandre C. a répondu :

      --- Citation ---
      Bonjour Jean-Jacques,

      Tout jeu d'écriture est conventionnel.

      Dans mon livre à moi, l'écriture "naturelle" est -10 + 2
      et l'écriture (-10) + (+2) est un "artifice didactique" dont le seul but est de permettre de faire jouer l'analogie des pierres de go.
      Je ne dis pas que c'est LA vérité.
      Je décris une possible guerre des mots pour imposer une vision de l'addition sur IR.

      J'ai été trop rapide à définir E1 comme :
      l'addition sur IR associée à ses propriétés algébriques et à ses situations-problèmes propres que devrait maîtriser un élève en fin de 5ème.
      et dans ma description des deux chemins didactiques possibles (avec ou sans rupture),
      je crois maintenant que chacun amène à une version de E1 bien particulière.

      Je les appelle :
      E1' : l'addition sur IR pensée sous l'analogie des pierres de go
      et E1'' : l'addition sur IR pensée comme prolongement "naturel" de l'addition sur IR+
      ---
      Dans E1' :
      A = -3 - 2 est une écriture simplifiée et conventionnelle qui allège la "véritable" expression A = (-3) + (-2). L'élève doit donc décrypter l'écriture simplifiée de cette expression, c'est-à-dire la relourdifier mentalement pour en lire la "véritable nature" (et éventuellement mobiliser mentalement un jeu de manipulation de pierres noires et blanches appris en classe).

      Dans E1'' :
      A = -3 - 2 est l'écriture "naturelle". Ici, l'élève est invité à mobiliser mentalement un jeu de déplacements sur un axe appris en classe.
      Quand certains élèves ne comprennent pas l'analogie des déplacements ou lorsqu'il faut penser des expressions qui ne sont pas traduisibles dans le modèle des déplacements, on est tenté par l'autre analogie. Mais alors, on présente les choses comme une analogie qui "marche" bien et non L'analogie par laquelle il FAUT penser l'addition sur IR. Les instructions données aux élèves sont donc de déguiser 2 et (+2) et -3 en (-3), c'est-à-dire de leur fournir "artificiellement" des armures et du maquillage pour les déguiser en pierres de go ou en soldats car alors, on a une belle histoire mnémotechnique à leur raconter pour trouver le résultat du calcul.
      --- À suivre ---

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    2. --- Suite ---

      Dans cet exemple, il y a un désaccord sur le statut des deux écritures :


      E1'
      E1''
      -3-2
      simplifiée
      "naturelle"
      (-3) + (-2) "naturelle"
      artificielle

      Dans E1', l'addition est forcément de même nature que le jeu pris comme analogie. Les mathématiciens ont décidé un allégement d'écriture comme pour "2a" qui doit se penser comme "2 fois a" ou pour "M. Abel" qui doit se lire "Monsieur Abel". Du coup, certains enseignants critiquent le passage trop rapide à cette écriture allégée qui rajoute un obstacle à la compréhension des calculs en jeu.
      Dans E1'', l'écriture lourdifiée est un artifice didactique (Olivier proposait même de changer cet artifice pour un autre, ce qui ne pose de problème que dans le fait que l'artifice est désormais, semble-t-il, assez universel. Changer les codes pour des conventions plus personnelles, c'est condamner ses élèves à ne plus trouver de ressources pour s'entraîner en-dehors de ses propres productions. Personnellement, les années où j'ai voulu ne jamais passer par cette écriture artificielle m'ont condamné à ne pas ouvrir le manuel durant tout le chapitre et mes élèves à ne rien comprendre lorsque le professeur suivant à commencé l'année par des révisions de calcul et par cette drôle d'écriture inconnue. Je m'oblige donc, désormais, à présenter l'écriture "artificielle" à tous mes élèves avec les précautions décrites plus haut).

      Je revendique cette présentation didactique qui insiste sur les limites de l'analogie : Évidemment, personne n'a le pouvoir d'abstraction absolue qui permettrait de résoudre un calcul sans interprétation analogique mais c'est important, je crois, de signaler que toute analogie est trompeuse et ne saurait, même la plus parfaite d'entre elle, s'identifier totalement au concept abstrait qu'elle contribue à éclairer.
      --- À suivre ---

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    3. --- Suite ---


      Je reproche (gentiment) à certains enseignants de présenter "brutalement" le bol de pions de go en disant : "je vous présente la nouvelle addition car (-4) + (+5) = "4 pions blancs et 5 pions noirs qui interagissent selon certaines règles"."

      Je vois, dans la volonté d'appeler "écriture simplifiée" une écriture aussi banale que 2 - 5 (et dont un élève de CE1 devine intuitivement et sans problème la réponse) la volonté d'affirmer que la "vraie nature" de l'addition est caractérisée par l'ensemble des règles fixées lors de l'analogie des pierres de go et que les autres analogies sont de seconde zone. Je préfère penser que toutes les analogies sont de seconde zone même si certaines sont didactiquement plus efficaces (et c'est probablement le cas de celle des pierres de go).


      Dans E1'', Tout calcul du chapitre tel que
      A = 2 - (-3) + (-4) + 5 - 6 + (-7)
      se ramène à une suite d'additions-soustractions (par théorèmes et non par simplification d'écriture (1))
      A = 2 + 3 - 4 + 5 - 6 - 7
      qui n'est rien d'autre qu'un prolongement "naturel" des problèmes de parties de billes gagnées et perdues (sauf qu'on a le droit d'être à découvert).
      Par théorèmes,
      A = 2 + 3 + 5 - 4 - 6 - 7
      puis
      A = (2 + 3 + 5) - (4 + 6 + 7),
      ce que l'on écrivait déjà avec les problèmes de billes.

      (1)
      Dans E1' :
      A = 2 + (-13) est un calcul que l'on serait tenté de faire directement
      ou dont on "simplifierait" d'abord l'écriture A = 2 - 13 (on se demande bien d'ailleurs ce qui nous y pousse)
      avant de relourdifier le tout dans sa tête pour faire venir l'image des pierres blanches et noires.

      Dans E1'' :
      A = 2 + (-13) => A = 2 - 13 car additionner un nombre revient à soustraire son opposé. On cherche alors une analogie valide pour déterminer le résultat.

      Ainsi, dans E1', A = 2 + (-13) => A = 2 - 13 est justifiée par un jeu d'écriture "conventionnel" appelé "simplification d'écriture" alors que dans E1'', c'est un théorème algébrique qui justifie cette implication (et il se peut bien que la validité de ce théorème a été ressentie lors d'un passage dans le modèle des pierres de go mais ensuite, il en a été abstrait)

      Là encore, ce sont deux paradigmes très très distincts qui conduisent à la même trace écrite.
      Quel bazar !!
      --
      Alexandre.

      PS : merci pour le petit dessin de Pythagritte mis à la fin de ton mail. Je l'ai retrouvé sur le net et affiché dans ma salle, ce qui a nourri de nombreuses discussions aujourd'hui (et c'était une drôle de sensation que de penser que toutes les questions enthousiastes de ces élèves sur les racines carrées ne trouveraient pas réponse au collège sous prétexte qu'il fallait désormais apprendre à diriger un châton sur une tablette numérique).
      --- Fin de citation ---

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