dimanche 28 août 2016

Ajouter une infinité de nombres

On souhaite remplir un réservoir d'eau de 1000 L de la manière suivante :

            1) On remplit la moitié du réservoir. (500 L)
           2) Puis on ajoute la moitié du reste (250 L).
           3) Puis on ajoute la moitié du reste (125 L).
        4) à chaque étape, on remplit d'eau la moitié du volume restant.

            Question : arrivera-t-on à le remplir totalement ?

              Réponses :

                 1) physiquement : oui, quand il ne restera que très peu de place, on ne pourra pas ajouter une moitié de molécule d'eau, et le réservoir se remplira (au bout d'un petit nombre d'étapes).

                                                                                   2) Mathématiquement : non. À chaque étape, il restera toujours un peu de place, que l'on pourra toujours couper en deux, même si on passe en dessous de la taille d'un atome. Cependant, on sera très, très près de le remplir.

La fraction du réservoir que l'on remplit se calcule de la manière suivante :

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/ 32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024 + 1/2048 + ...

Cette suite (finie à chaque étape) de nombres se rapproche de plus en plus de 1, sans jamais l'atteindre, quel que soit le nombre fini d'étapes.

(Pour aller plus loin : http://images.math.cnrs.fr/Sommes-de-series-de-nombres-reels.html )
-- 
Mathieu Morinière.

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