samedi 10 septembre 2016

Paradoxe en probabilités

Problème : Dans le jeu très connu "Qui veut gagner des millions ?", une des questions aurait pu être celle que l'on peut lire sur l'image de gauche.






Solution : Que veut dire "choisir" et "une réponse au hasard" ? 

On va admettre que "choisir au hasard" signifie qu'on lance un dé tétraédrique (une pyramide à 4 faces triangulaires, marquées A, B, C et D) et que l'on "choisit" la réponse que nous indique le dé.

Quelle est alors la probabilité alors d'avoir donné la bonne réponse à la question ?

En général, à ce jeu, il n'y a qu'une seule bonne réponse sur les 4, donc la probabilité devrait être de 25%.

Or, sur l'image, il y a deux réponses identiques égales à 25 %. On est donc dans un cas particulier où il y a deux bonnes réponses sur les 4, et la probabilité d'obtenir la bonne réponse est finalement de 50 %, qui est justement une des 4 réponses proposées !

Mais alors, il y a une seule bonne réponse sur les 4 : 50 %, donc la probabilité d'obtenir la bonne réponse redevient 25 %. Etc...

Ceci s'appelle, en mathématiques, un paradoxe : il semble qu'il y ait deux bonnes réponses incompatibles à ce problème, ce que les mathématiciens appellent "Un problème mal posé".

Il fait partie d'une grande famille de paradoxes, que l'on appelle "l'auto-référence". Un autre exemple : la phrase  "Je mens" est-elle vraie ou fausse ?

Si elle est vraie, je mens, mais si je mens, elle est fausse... Mais si elle est fausse, je dis la vérité, donc je mens, etc...

On sort de certains paradoxes en reformulant la question. Le contraire de "Je mens toujours" est "Je dis parfois la vérité", ce qui rend le problème plus clair.

Pour revenir au problème de départ, je dirais que la question n'a aucune réponse possible, et heureusement que 0% n'est pas une des 4 réponses proposées, car sinon, on aurait 25% de chances de trouver la bonne réponse, et on ne serait pas sorti de l'auberge.

Si le problème proposait 2 réponses à 25 % et deux réponses à 50 %, alors la bonne réponse serait 50%, et le paradoxe disparaitrait.

D'autres exemples de paradoxes que les mathématiciens ont décidé d'exclure des mathématiques, car "mal formulés" : "Le plus petit nombre entier que l'on peut définir à l'aide de au moins vingt-deux mots" : ce nombre n'existe pas car on vient de le définir en 19 mots.

Ou encore : "L'ensemble de tous les ensembles" existe-t-il ? Non, car il serait à la fois un ensemble et un élément de cet ensemble, ce qui contredit la relation d'ordre d'inclusion parmi les ensembles.

Pour aller plus loin, lisez "Logicomix", la bande dessinée qui retrace la crise des fondements de la logique qui a eu lieu il y a une centaine d'années, entre Bertrand Russel, Georg Cantor, Kurt Gödel et d'autres grands logiciens qui on voulu ré-écrire les axiomes de la logique, et qui sont tombés de manière inattendue sur de redoutables paradoxes, qui ont contredit la certitude de Hilbert : "Nous devons tout savoir, nous allons tout savoir".
-- 
Mathieu Morinière

Aucun commentaire:

Enregistrer un commentaire

La parole est à vous :)