jeudi 15 septembre 2016

Somme des cubes

On peut démontrer (par récurrence, niveau Terminale S) l'égalité suivante,
vraie pour tout entier n :




Une preuve sans mots de cette égalité a été proposée en 1984 par Solomon Colomb :


la "preuve sans mots", pour  n = 4 ...

... Et maintenant, tout de même, quelques mots d'éclaircissement :


     le rang supérieur du dessin est constitué de 4 carrés, dont les côtés mesurent (de gauche à droite) 1 unité de longueur, puis 2, puis 3 et enfin 4.
Appelons "carré 1", "carré 2" , "carré 3" et carré 4" ces 4 carrés, dans cet ordre.
Les aires de ces carrés sont donc les carrés de 1 , 2 , 3 et 4.

L'astuce de la preuve consiste à décomposer le grand carré (dont le côté mesure  1+2+3+4 unités de longueur - et dont l'aire est donc le carré de cette mesure) en un ensemble de surfaces adjacentes dont la somme des aires est  
1x(aire carré 1) + 2x(aire carré 2) + 3x(aire carré 3) + 4x(aire carré 4)
 ... C'est à dire la somme des cubes de  1 , 2 , 3 et 4 !

Pour les "carrés impairs"  (carré 1 et carré 3), aucune difficulté, et vous voyez bien apparaître 
1 "carré 1" et 3 "carrés 3" (le 2ème sous le 1er, le 3ème à gauche du 2ème).

Pour les "carrés pairs", une petite manipulation est nécessaire  : le 2ème "carré 2" est décalé d'un cran en dessous et à gauche du 1er, et le 3ème "carré 4" de 2 crans en dessous et à gauche du 2ème (alors que, comme pour les carrés impairs, le 2ème "carré 4" est juste en dessous du 1er, et le 4ème juste à gauche du 3ème).
Les 2 "carrés 2" recouvrent donc 2 fois une même surface carré  (d'une unité de côté),
et les 2ème et 3ème "carrés 4" également (de deux unités de côté).

Mais il suffit d'imaginer  qu'on "fait glisser" la surface en trop suivant la diagonale descendante (vers le bas et la droite) d'un cran pour les "carrés 2" et de 2 crans pour les "carrés 4" pour combler les 2 trous qui restaient dans le grand carré... Et le tour est joué !

Joli, non ?

Sans commentaires, maintenant,  pour  n = 6  :

Comme la construction géométrique suit le même schéma, elle pourra être appliquée à n'importe quel entier positif non nul !


(Source : "Jeux mathématiques et mathématiques des jeux", Jean-Paul Delahaye, Pour la Science)
-- 
Philippe Colliard et Mathieu Morinière

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