Mathieu Morinière

16) Flocon de Von Koch en Python



En deux minutes, le programme dessine ceci :


15) Somme de cubes

On peut démontrer (par récurrence, niveau Terminale S) l'égalité suivante,
vraie pour tout entier n :




Une preuve sans mots de cette égalité a été proposée en 1984 par Solomon Colomb :


la "preuve sans mots", pour  n = 4 ...

... Et maintenant, tout de même, quelques mots d'éclaircissement :


     le rang supérieur du dessin est constitué de 4 carrés, dont les côtés mesurent (de gauche à droite) 1 unité de longueur, puis 2, puis 3 et enfin 4.
Appelons "carré 1", "carré 2" , "carré 3" et carré 4" ces 4 carrés, dans cet ordre.
Les aires de ces carrés sont donc les carrés de 1 , 2 , 3 et 4.

L'astuce de la preuve consiste à décomposer le grand carré (dont le côté mesure  1+2+3+4 unités de longueur - et dont l'aire est donc le carré de cette mesure) en un ensemble de surfaces adjacentes dont la somme des aires est  
1x(aire carré 1) + 2x(aire carré 2) + 3x(aire carré 3) + 4x(aire carré 4)
 ... C'est à dire la somme des cubes de  1 , 2 , 3 et 4 !

Pour les "carrés impairs"  (carré 1 et carré 3), aucune difficulté, et vous voyez bien apparaître 
1 "carré 1" et 3 "carrés 3" (le 2ème sous le 1er, le 3ème à gauche du 2ème).

Pour les "carrés pairs", une petite manipulation est nécessaire  : le 2ème "carré 2" est décalé d'un cran en dessous et à gauche du 1er, et le 3ème "carré 4" de 2 crans en dessous et à gauche du 2ème (alors que, comme pour les carrés impairs, le 2ème "carré 4" est juste en dessous du 1er, et le 4ème juste à gauche du 3ème).
Les 2 "carrés 2" recouvrent donc 2 fois une même surface carré  (d'une unité de côté),
et les 2ème et 3ème "carrés 4" également (de deux unités de côté).

Mais il suffit d'imaginer  qu'on "fait glisser" la surface en trop suivant la diagonale descendante (vers le bas et la droite) d'un cran pour les "carrés 2" et de 2 crans pour les "carrés 4" pour combler les 2 trous qui restaient dans le grand carré... Et le tour est joué !

Joli, non ?

Sans commentaires, maintenant,  pour  n = 6  :

Comme la construction géométrique suit le même schéma, elle pourra être appliquée à n'importe quel entier positif non nul !

(Source : "Jeux mathématiques et mathématiques des jeux", Jean-Paul Delahaye, Pour la Science)

14) Hommage bref à Rudolf Bkouche

13) Sangakus : 2 cercles tangents dans un carré


Bonjour,

un excellent formateur nous a posé un excellent problème ouvert :

Construisez la figure ci-contre avec GeoGebra.

Remarque : on peut commencer par chercher le cas où les deux cercles ont le même rayon.

Autre  remarque : si les deux cercles ne sont pas exactement tangents, agrandissez la figure autour de ce point avec GeoGebra.

1) Pour les deux cercles de même rayon, une première solution consiste à partir des deux cercles tangents, puis à tracer le carré extérieur, mais ce n'est pas aussi simple que cela en a l'air.

2) Une deuxième solution : http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/disques.pdf

3) Une troisième solution : http://debart.pagesperso-orange.fr/1s/olympiade_2008.html

4) Une quatrième solution, (avec une étude de l'aire maximale) :

PS : Des défis plus faciles avec GeoGebra : https://www.euclidea.xyz/

PPS : D'autres Sangakus ici : http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Sangaku.shtml

12) Paradoxe en probabilités

Problème : Dans le jeu très connu "Qui veut gagner des millions ?", une des questions aurait pu être celle que l'on peut lire sur l'image de gauche.

Solution : Que veut dire "choisir" et "une réponse au hasard" ? 

On va admettre que "choisir au hasard" signifie qu'on lance un dé tétraédrique (une pyramide à 4 faces triangulaires, marquées A, B, C et D) et que l'on "choisit" la réponse que nous indique le dé.

Quelle est alors la probabilité alors d'avoir donné la bonne réponse à la question ?

En général, à ce jeu, il n'y a qu'une seule bonne réponse sur les 4, donc la probabilité devrait être de 25%.

Or, sur l'image, il y a deux réponses identiques égales à 25 %. On est donc dans un cas particulier où il y a deux bonnes réponses sur les 4, et la probabilité d'obtenir la bonne réponse est finalement de 50 %, qui est justement une des 4 réponses proposées !

Mais alors, il y a une seule bonne réponse sur les 4 : 50 %, donc la probabilité d'obtenir la bonne réponse redevient 25 %. Etc...

Ceci s'appelle, en mathématiques, un paradoxe : il semble qu'il y ait deux bonnes réponses incompatibles à ce problème, ce que les mathématiciens appellent "Un problème mal posé".

Il fait partie d'une grande famille de paradoxes, que l'on appelle "l'auto-référence". Un autre exemple : la phrase  "Je mens" est-elle vraie ou fausse ?

Si elle est vraie, je mens, mais si je mens, elle est fausse... Mais si elle est fausse, je dis la vérité, donc je mens, etc...

On sort de certains paradoxes en reformulant la question. Le contraire de "Je mens toujours" est "Je dis parfois la vérité", ce qui rend le problème plus clair.

Pour revenir au problème de départ, je dirais que la question n'a aucune réponse possible, et heureusement que 0% n'est pas une des 4 réponses proposées, car sinon, on aurait 25% de chances de trouver la bonne réponse, et on ne serait pas sorti de l'auberge.

Si le problème proposait 2 réponses à 25 % et deux réponses à 50 %, alors la bonne réponse serait 50%, et le paradoxe disparaitrait.

D'autres exemples de paradoxes que les mathématiciens ont décidé d'exclure des mathématiques, car "mal formulés" : "Le plus petit nombre entier que l'on peut définir à l'aide de au moins vingt-deux mots" : ce nombre n'existe pas car on vient de le définir en 19 mots.

Ou encore : "L'ensemble de tous les ensembles" existe-t-il ? Non, car il serait à la fois un ensemble et un élément de cet ensemble, ce qui contredit la relation d'ordre d'inclusion parmi les ensembles.

Pour aller plus loin, lisez "Logicomix", la bande dessinée qui retrace la crise des fondements de la logique qui a eu lieu il y a une centaine d'années, entre Bertrand Russel, Georg Cantor, Kurt Gödel et d'autres grands logiciens qui on voulu ré-écrire les axiomes de la logique, et qui sont tombés de manière inattendue sur de redoutables paradoxes, qui ont contredit la certitude de Hilbert : "Nous devons tout savoir, nous allons tout savoir".

11) Triangles égaux et semblables

Chers amis,

je me permets de vous transmettre un article d'Alexandre Carret :


--- Citation ---
Comme je n'hésite pas à interpréter librement les programmes (grâce à mon bouclier de liberté pédagogique), je fais de grands arrêts sur la notion de démonstration géométrique :

en particulier, j'insiste dans un premier temps sur les arrières-plans mentaux - la vision du monde - construits et discutés par les hommes  (depuis les grecs pour faire simple) et qui les a conduit à entrevoir les notions de cause, de conséquence, de syllogisme, de science,  d'expérience, etc. (par exemple, je leur dis que nous ne discuterons jamais du "beau" en mathématiques.


D'une part parce qu'il s'agit d'une  catégorie mal définie, socialement, culturellement et temporellement  variable et d'autre part qu'il ne s'agit pas d'une catégorie à travers laquelle le mathématicien pense le monde (heureusement, nous ne sommes pas que mathématiciens) : je décroche alors des murs de ma salle "Cygnes se reflétant en éléphants" et "Drawing hands" pour leur expliquer ce qui m'intéresse dans ces œuvres tout en étant persuadé que leur professeur d'arts plastiques leur en parlerait bien autrement (1)).




Par conséquent, j'oriente tout mon discours sur la géométrie autour de l'idée que tout théorème est démontrable sauf les tout premiers que l'on appelle postulats :


Je dois un grand merci à Philippe Colliard de m'avoir ouvert les yeux sur cette liste et dans son livre sur le fait que nous n'avions pas, au collège, à être jusqu’au-boutiste (chercher le minimum de postulats à poser pour démontrer nos théorèmes) et qu'au contraire poser des postulats forts (comme les égalités de triangles) tout en disant qu'un jour peut-être, dans quelques années, on réfléchirait à construire le plus petit noyau de postulats.


Cette découverte m'a libéré : je ne cherchais plus, en mathématicien, à réduire le nombre des postulats mais en prof de collège à trouver le noyau de postulats suffisant pour ne pas avoir à rentrer dans des considérations difficiles (voire contestables : certaines démonstrations d'Euclide ont fait l'objet de nombreux commentaires à travers les siècles).


Les égalités de triangles sont depuis lors omniprésentes dans mon discours (par exemple, pour démontrer dans les deux sens la relation entre symétrie centrale et parallélogramme - alors qu'avant, avec mes petits postulats euclidiens, je passais vite là-dessus car la montagne me semblait bien trop haute à franchir pour mes élèves).


Je précise que, la plupart du temps, ces démonstrations sont exposées à l'oral, parfois écrites dans le cahier et rarement, je leur demande de me les reformuler. Elles servent plutôt à construire le récit que je tente de leur exposer sur la nature et la structure des résultats géométriques avec lesquels il faut se familiariser au collège.

A eux, je ne demande que des démonstrations plus simples car paradoxalement, ces théorèmes-postulats, bien que premiers dans la théorie, sont difficiles à utiliser dans des démonstrations en autonomie (contrairement, par exemple, au théorème "les diagonales d'un losange sont perpendiculaires" dont l'intuition est forte chez les élèves et l'usage dans les démonstrations relativement aisé - alors même que la démonstration que je leur en propose s'appuie sur des égalités de triangles).


Amicalement,
-- 

Alexandre Carret.


(1) Non merci, pas d'EPI là-dessus non plus !

--- Fin de citation ---

Merci encore une fois à Alexandre Carret, qui a exprimé (plus habilement que moi) ce que je pensais sur ce sujet.

P.S. Roland Dassonval a publié une démonstration intéressante du théorème de Ptolémée

--- Citation ---

--- Fin de citation ---

P.P.S. Mes sincères condoléances à la famille et aux amis de Rudolf Bkouche, qui a passé beaucoup de temps de sa retraite à discuter avec des profs sur Internet pour améliorer l'enseignement des mathématiques.

10) Les différences successives de puissances

9) L'équation du nénuphar

Une devinette assez connue : des nénuphars sur un lac occupent une surface qui double chaque jour : 1 m2, 2m2, 4m2, ... Ils finissent par couvrir la moitié du lac en 3 semaines. En combien de temps auront-ils couvert le lac entier ?



P.S. : durant les 70 dernières années (une vie humaine), la population mondiale a doublé, ainsi que les problèmes de nourriture, de pollution, etc... qui lui sont associés. Avec une croissance annuelle de quelques pourcents (un petit pourcentage) le temps de doublement est de 70 ans.






À lire : "L'équation du nénuphar", d'Albert Jacquard, chercheur, essayiste et spécialiste de génétique des populations.

 À lire, ou à relire (et non, il ne s'agit plus du tout de mathématiques) : "L'Écume des jours", de Boris Vian... Pour apprendre à détester les nénuphars et leur croissance.

8) Ajouter une infinité de nombres

On souhaite remplir un réservoir d'eau de 1000 L de la manière suivante :

            1) On remplit la moitié du réservoir. (500 L)
           2) Puis on ajoute la moitié du reste (250 L).
           3) Puis on ajoute la moitié du reste (125 L).
        4) à chaque étape, on remplit d'eau la moitié du volume restant.

            Question : arrivera-t-on à le remplir totalement ?

              Réponses :

                 1) physiquement : oui, quand il ne restera que très peu de place, on ne pourra pas ajouter une moitié de molécule d'eau, et le réservoir se remplira (au bout d'un petit nombre d'étapes).

                                                                                   2) Mathématiquement : non. À chaque étape, il restera toujours un peu de place, que l'on pourra toujours couper en deux, même si on passe en dessous de la taille d'un atome. Cependant, on sera très, très près de le remplir.

La fraction du réservoir que l'on remplit se calcule de la manière suivante :

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/ 32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024 + 1/2048 + ...

Cette suite (finie à chaque étape) de nombres se rapproche de plus en plus de 1, sans jamais l'atteindre, quel que soit le nombre fini d'étapes.

(Pour aller plus loin : http://images.math.cnrs.fr/Sommes-de-series-de-nombres-reels.html )

7) Qu'est-ce qu'une construction axiomatique ?

Philippe Colliard répond :



Les définitions d'un point et d'une ligne (dans un dictionnaire non mathématique) sont :

POINT : figure géométrique sans dimension : intersection de deux lignes.
LIGNE : figure qui peut être matérialisée par un fil assez fin. Un point qui se déplace engendre une ligne.

On voit que ces deux définitions forment un cercle vicieux : chacune d'entre elles a besoin de l'autre pour définir ces deux objets.

Dans un dictionnaire mathématique, on apprend qu'un point, selon Euclide, est ce qui n'a aucune partie. On peut aussi dire plus simplement qu'un point ne désigne pas un objet mais un emplacement. Il n'a donc aucune dimension, longueur, largeur, épaisseur, volume ou aire. Sa seule caractéristique est sa position. On dit parfois qu'il est « infiniment petit ».

Un point n'a donc pas de définition mathématique rigoureuse, c'est un objet intuitif, à partir duquel on construit tous les autres objets de la géométrie euclidienne, et à l'aide d'une vingtaine d'axiomes (qui sont des énoncés non démontrables) on démontre des millions de  théorèmes de la géométrie.

On savait depuis Euclide et Hilbert que l'on pouvait - en théorie - écrire toute la géométrie de collège à partir des axiomes, mais on savait également combien l'entreprise était délicate, et jusqu'au "... Donc, d'après...", de Philippe Colliard, personne, à ma connaissance, ne s'y était encore risqué.

Ce livre a été écrit avec la volonté de concevoir un ouvrage lisible aussi bien par des collégiens - ou par des parents - motivés que par des professeurs. Dans cet esprit, Philippe Colliard a adjoint aux axiomes de Hilbert quelques "axiomes physiques" (l'un de ses lecteurs les a appelés des "axiomes pédagogiques"), constituant un ensemble de 24 "métaxiomes" sur lesquels repose toute sa construction.

Pourquoi lire ce livre ? Pour découvrir la cohérence des mathématiques que l'on ne trouve pas dans les manuels scolaires de collège.

6) Rectangles et périmètres en 6ème

En 1996, j'ai donné à des élèves de 6ème l'exercice suivant :


Exercice : Un rectangle a 20 cm de périmètre et sa longueur a 5cm de plus que sa largeur.

Quelles sont ses dimensions ?


Solution 1 : une élève a levé la main au bout de 10 secondes et a donné la réponse.
Je lui ai demandé comment elle avait fait. Elle m'a répondu :

"Si le rectangle était un carré, il aurait 5 cm de côté.
Il faut que sa longueur mesure 5cm de plus que sa largeur, donc je divise 5 cm par 2 (soit 2,5 cm)
puis je l'ajoute à la longueur du carré : 5 cm + 2,5 cm = 7,5 cm ;
puis je la soustrais à la largeur du carré : 5 cm - 2,5 cm = 2,5 cm".

Pourquoi a-t-elle divisé 5 cm par 2 ? Elle m'a répondu : "Si on ajoute 5 cm à la longueur et si on soustrait 5 cm à la largeur du carré, alors on obtient 10 cm et 0 cm, donc la différence entre les deux est de 10cm (et non de 5 cm)". 

Impressionnant, non ? 

Un autre élève de 6ème a proposé  :

Solution 2 : la longueur fait 5 cm de plus que la largeur : par exemple :
1er essai : 10 cm et 5 cm ; mais alors le périmètre est de 30 cm (et non de 20 cm).
2ème essai : 7 cm et 2 cm ont une différence de 5 cm, mais alors le périmètre est 18 cm.
3ème essai : 8 cm et 3 cm ont une différence de 5 cm, mais alors le périmètre est 22 cm.
4ème essai : 7,5 cm et 2,5 cm ont une différence de 5 cm, et le périmètre est 20 cm.


En 3ème après le chapitre sur les systèmes, un élève aurait écrit :
   
Solution 3 : appelons L la longueur et l la largeur du rectangle recherché.
2(L + l) = 20     donc        L + l = 10     donc       2 L = 15     donc     L = 7,5
L - l = 5                                   L - l = 5                       2 l = 5                    l = 2,5


En général, lorsqu'un mathématicien ne trouve pas la solution d'un problème, il essaie de l'approcher par une méthode d'essais-erreurs. S'il a de la chance, après de nombreuses heures (ou années) de recherche, il trouve une solution relativement plus simple que les autres et il la publie. Il ne publie en général pas ses brouillons, ce qui serait pourtant intéressant.

5) Formats

Le 6 septembre 1987, mon professeur de dessin industriel commença son cours ainsi :

Vous savez tous que les dimensions d'une feuille de format A4 (une photocopie usuelle) sont de :

21 cm sur 21 x racine(2) cm.

Je me suis retourné, mais personne n'a souri. Je me suis demandé : "Pourquoi cette précision diabolique ? La connaissance de 21x29,7 n'est-elle pas suffisante ?"


L'intérêt de ce format précis est que pour agrandir une photocopie du format A4 en A3, il faut un pourcentage d'augmentation de 141% (racine(2)≈1,41), et pour réduire une photocopie du format A4 en A5, il faut un pourcentage de réduction de 71% (1/(racine(2))≈0,71).

Si les aires sont multipliées (ou divisées) par 2, alors les longueurs sont multipliées (ou divisées) par (racine de 2).

L'intérêt de ce format est de conserver le rapport (Longueur/Largeur)=(racine(2)) dans tous les agrandissements qui doublent l'aire du rectangle.

Ci-contre, on a une représentation à l'échelle du format A0 (le plus grand rectangle, d'aire 1 mètre carré), puis du format A1 (la moitié de A0), puis A2 (la moitié de A1), puis A3 (la moitié de A2), puis A4 (la moitié de A3), puis de A5 (la moitié de A4), puis de A6 (la moitié de A5), etc...

On remarque sur ce dessin que les quatrièmes sommets des rectangles coloriés (qui sont de formats A0, A2, A4 et A6) sont tous sur une même diagonale, alors que leurs 3 autres sommets sont sur le côté gauche ou celui du bas. Si on redressait verticalement les rectangles couchés (A1 ; A3 ; A5), on constaterait que c'est encore le cas.

Plus généralement (en utilisant le théorème de Thalès) on peut démontrer que les rectangles dont le quatrième sommet est sur cette diagonale et les trois autres sommets disposés de manière semblable aux précédents sont tous de la même forme  (c'est-à-dire : Longueur/Largeur=constante) mais seuls ceux qui sont dessinés ont une aire qui est le quart de celle du précédent rectangle (A2 est quart de A0 ; A4 est le quart de A2 ; A6 est le quart de A4, etc...).

Comment pourrait-on définir des parallélépipèdes de même forme? Par la diagonale commune (en rouge) ?

Dans le dessin ci-contre, le grand parallélépipède a un volume 8 fois plus grand que celui du petit (car pour passer du petit au grand, les longueurs ont été multipliées par 2) mais il suffirait de choisir un point précis de la diagonale commune (point que je vous laisse calculer) pour que le volume du petit soit multiplié par 2 pour obtenir le volume du grand.

En résumé, les imprimantes 3D peuvent reproduire des objets de mêmes formes à différentes échelles, (avec des coefficients d'agrandissement ou de réduction  faciles à calculer pour que les volumes soient multipliés ou divisés par 2). (Le dessin a été fait en perspective avec un point de fuite).

4) Une introduction aux vecteurs

En 1982, mon professeur de 4ème, Jean Galpin, introduisait les vecteurs de la manière suivante :

Il y a 100 ans, des chevaux tiraient les péniches le long des berges des rivièrespour remonter le courant, comme sur le dessin ci-contre.








Le segment en pointillés rouges représente une corde, et les flèches représentent les forces exercées par la corde sur la péniche et par les chevaux sur la corde.






Comment faire pour que la péniche ne se retrouve pas sur la berge ?







Première réponse : en mettant des chevaux des deux côtés de la rivière, comme sur ce deuxième dessin.

L'inconvénient de cette solution est qu'elle empêche d'autres bateaux de dépasser la péniche ou bien de redescendre la rivière.













Deuxième réponse : en tournant le gouvernail pour diriger la péniche vers la gauche (vers babord), on voit que la force appliquée par le centre du gouvernail sur l'eau est la même que sur le dessin nº2 par les chevaux de babord, mais appliquée à l'arrière (la poupe) de la péniche, donc la péniche va tout droit.
















Une application plus récente de ce principe s'applique pour le déplacement des kitesurfs, où les chevaux sont remplacés par un cerf-volant et le gouvernail par la planche de kite en travers pour résister à la dérive.








Jean-Jacques Dhénin a écrit :

Oui, je n'avais pas le même professeur de mathématiques, cependant j'avais probablement le même livre, à savoir Lebossé Hémery.

Mon professeur de mathématiques, ainsi que mon professeur de physiques, au collège d'enseignement général, présentaient les vecteurs de cette façon. Nous comprenions, peut-être, parce que nous étions encore un peu familiers de cette méthode pour tracter les péniches.

Mais lequel de nos élèves, aujourd'hui, a eu vent de ce mode de transport des impondérables ? 
Quant aux kitesurfs ...

3) La diagonale d'un carré




Dans le quartier de Manhattan (New York), où beaucoup de rues sont perpendiculaires, vaut-il mieux zig-zaguer de manière très fréquente, ou bien vaut-il mieux parcourir deux côtés d'un carré, pour rejoindre deux points diagonalement opposés ?







Ou encore, sur le dessin du carré ABCD ci-contre, quadrillé en 16 petits carrés, le trajet de A à C en ne suivant que deux segments, [AB] puis [BC] est-il plus long - ou plus court - qu'en parcourant successivement les segments [AE], [EF], [FG], [GH], et enfin [HC] ?



La réponse ? 


EF = BL, FG = EK, GH = LC et HC = KB        donc :
AE+EF+FG+GH+HC  =  AE+FG HC+EF GH  =  AE+EK+KB + BL+LC  =  AB + BC.

Les deux trajets ont la même longueur, AB + BC !!!


Et si maintenant nous quadrillons le carré initial en 64 carrés (un échiquier), ou en 100 carrés (un damier)... Ou en 324 carrés (un goban) ?

Le raisonnement reste le même - avec simplement plus de points intermédiaires : 
les deux trajets ont toujours comme longueur AB + BC (le double de la longueur d'un côté du carré ABCD initial).

Là où ce résultat devient plus troublant, c'est lorsque nous commençons à utiliser des quadrillages vraiment très fins du carré initial, en séparant chaque côté non plus en 4, 8,10 ou 18 segments, mais en 1000, 10000, 1 million...

Alors le chemin qui traverse le carré semble peu à peu se confondre avec la diagonale de
ce carré, ce qui peut laisser supposer que la longueur de cette diagonale est AB + CD !

Mais le théorème de Pythagore - et, bien plus simplement, une mesure, même imprécise, de la longueur d'un côté et de celle de la diagonale - nous montre bien que ce n'est pas vrai... 

... Et nous rappelle qu'il faut se méfier de raisonnements insuffisamment approfondis:)

Ici, le défaut du « raisonnement » est que tous les triangles observés restent rectangles :
il n'y a pas « d'aplatissement » de ces triangles vers la diagonale, quel qu'en soit le nombre.

(Si leurs sommets sont de plus en plus proches de la diagonale lorsque le nombre de triangles grandit, ce n'est pas parce qu'il y a déformation des triangles, et lorsqu'on « zoome » sur une petite partie de la diagonale, on retrouve exactement la configuration initiale !)

Et heureusement que ce « raisonnement » est défaillant :

sinon, il permettrait, par exemple, de prouver que 4 est égal à 2 !!!

(Si [AB] mesurait 1 cm, AB + BC vaudrait 2 cm, et d’après ce « raisonnement », [AC] mesurerait donc 2 cm :
le carré de AB vaudrait 1 cm2 (1x1 = 1) et celui de AC vaudrait 4 cm2 (2x2 = 4) … Mais d’après le théorème de Pythagore, ce même carré de AC vaudrait également 2 cm2 !)

(Nous avons tenté ici de donner une interprétation géométrique de la fausseté de ce raisonnement. Il en existe une démonstration purement numérique, mais elle nécessite des connaissances de niveau bac +1).

P. S. Yves C. nous a fait remarquer que la surface comprise entre le chemin et la diagonale se rapproche effectivement de 0, alors que le périmètre reste constant. (Ce phénomène se retrouve dans d'autres situations de niveau lycée).



2) Un segment a-t-il plus de points qu'une droite ?


Nous allons ranger par paires distinctes les points d'une droite (AB) et ceux d'un segment [GH] (non perpendiculaires), comme dans l'article précédent.

Sur deux droites perpendiculaires à (AB), passant par G et Hon place deux points C et D de façon que (CD) soit parallèle à (AB), puis on construit un demi-cercle de centre E, de diamètre [CD]  et orienté vers (AB), comme sur la figure ci-contre.

Par un point F de [GH], on trace une perpendiculaire à (AB) qui coupe le demi-cercle en I, puis on trace la droite (EI) qui coupe (AB) en J.

Lorsque F se promène sur tout le segment [GH], alors J se promène sur toute la droite (AB), (sauf lorsque F se trouve en G et en H, car dans ce cas, (FI) // (AB) ), donc on a rangé par paires distinctes {F ; J} les points du segment ouvert ]G ; H[ et ceux de la droite (AB), donc  :

Un segment privé de ses extrémités possède autant de points qu'une droite !

(Étonnant non ?)

L'idée du demi-cercle m'est venue de la projection stéréographique dans le film "Dimensions" de Jos Leys, Aurélien Alvarez et Etienne Ghys.











1) Un grand segment a-t-il plus de points qu'un petit ?

Philippe Colliard nous parle des points et des segments :
 

   Le segment [ABa-t-il plus de points que le segment [CD] ?

     Pour le savoir, rejoignons leurs extrémités par deux droites, qui se croisent en E.

     Traçons ensuite une droite passant par E, qui coupe les deux segments en F et G.

  Si F se promène sur l'un des deux segments, alors G se promène sur l'autre, et tous les points des deux segments sont ainsi  rangés par paires distinctes {F ; G}, donc :

les deux segments ont autant de points l'un que l'autre !

(Surprenant, non ?)


C'est une des raisons pour lesquelles un point n'est pas une tache, (si petite soit-elle).

D'après la revue "Tangente" de novembre 2013, ce résultat est dû à Galilée.

            Par analogie, dans la photographie suivantes, les traverses de chemin de fer ont (à peu près) la même longueur. Et pourtant, en perspective, plus elles sont loin, plus elles semblent petites.


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