Une histoire d'infinis

A tale of two infinities, Both a like in dignity… (Shakespeare, Roméo et Juliette - ou presque !)

Deux infinis, tous deux respectables... 

Mais l'un des deux est immensément plus vaste que l'autre!

Le premier infini, le « petit », est celui de l'ensemble des nombres entiers naturels : ceux qui depuis des milliers d'années, servent à compter.

Les mathématiciens considèrent qu’il y a ℵ0 nombres entiers naturels ( « ℵ » est la première lettre de l'alphabet hébreu et « ℵ0 » se lit « aleph-zéro » )... ℵ0 n'est bien sûr pas lui-même un entier naturel, même s'il sert à les 

« compter » : il n'existe pas d'entier naturel « ultime », plus grand que tous les autres. ℵ0 est le « plus petit des nombres infinis ». 

Plutôt que « il y a ℵ0 nombres entiers naturels », les mathématiciens disent « le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est ℵ0 » ! 

Mais c'est également celui des nombres entiers relatifs :
                                                 les entiers naturels ET leurs opposés...

C'est encore celui des nombres décimaux (les positifs et les négatifs)...

Et c'est toujours celui des nombres rationnels (les fractions - positives et négatives).

Oui, c'est le même infini, ou, pour le dire autrement : il y a exactement autant d'entiers naturels que d'entiers relatifs, de nombres décimaux ou de nombres rationnels !

Ce n'est évidemment pas évident : le « simple bon sens » nous dit que, puisque les entiers sont des fractions particulières (celles dont, sous forme irréductible, le dénominateur est 1), et puisqu'il y a beaucoup d'autres fractions, il doit y avoir bien plus de fractions que de nombres entiers naturels.

Mais le simple bon sens se trompe - ou nous trompe - tout comme il nous trompe lorsque nous croyons qu'un grand segment a plus de points qu'un petit...

Et comme pour les segments ( un grand segment a-t-il plus de pointsqu'un petit ?),

tout repose sur le sens du mot « autant ».

Le second infini, le « grand », est celui de l'ensemble des nombres réels...

Et non, ce n'est pas le même que l'autre infini : les mathématiciens considèrent qu’il y a ℵ₁  

(« aleph-un ») nombres réels… 

Ou, pour être exact, ils considèrent que, si on accepte « l'hypothèse du continu », il y a ℵ₁ nombres réels... Ils préfèrent dire que le cardinal de l'ensemble des nombres réels est ℵ₁ ! 

(Appliquée à l'ensemble des entiers naturels et à celui des nombres réels, « L'hypothèse du continu » affirme qu'il n'existe pas d'ensemble dont le cardinal est « coincé » entre celui du premier ensemble et celui du second : strictement supérieur au premier et strictement inférieur au second...

Pourquoi « hypothèse » ? Parce que, tout comme la géométrie, les ensembles de nombres s'étudient à partir d'axiomes...

Et personne, à partir des axiomes utilisés actuellement - anticipés par Georg Cantor puis formalisés par Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel, ne peut prouver que cette affirmation est vraie, ni d'ailleurs qu'elle est fausse : elle est «indécidable». Peut-être y verra-t-on un jour un axiome ?).

En cliquant sur « ébauches, servez-vous » , puis sur « deux infinis », vous accéderez à un petit fichier de deux pages : la première page illustre une démonstration classique du fait qu'il y a autant de nombres rationnels que d'entiers naturels.

La deuxième page illustre la démonstration tout aussi classique (la « diagonale » imaginée par Georg Cantor) du fait qu’il y a plus de réels que d'entiers naturels.

Élèves, parents, collègues ou passants qui passent, ces pages sont à votre disposition,

sous licence « Creative Commons ». 

N'hésitez pas à les utiliser si elles vous plaisent...
Ni à laisser des commentaires ici, agréables ou non. 

À bientôt,

Philippe Colliard.