Collège, lycée : « faire des maths » ?

Nos élèves aiment les jeux qui fonctionnent sur ordinateur... Donc si notre enseignement fonctionne sur ordinateur, ils aimeront notre enseignement !

Si ça, ce n'est pas un beau sophisme, je ne sais plus quoi dire.

Pourquoi pas, dans le même genre : nos élèves aiment regarder le ciel, qui est bleu... Ils aiment nager dans la mer, qui est bleue... Donc si toutes les salles de classe ont des murs bleus, si tous les cahiers, tous les manuels ont des feuilles bleues, ils adoreront travailler au collège !

Et pourtant, c'est sur ce genre de sophisme que repose une grande partie de ce que j'appellerai le « commerce éducatif » : les enfants aiment jouer, donc l'enseignement doit être « ludique »... Et allons-y pour des manuels, des livrets de vacances, des logiciels ludiques : plein de jolies images et de trucs qui bougent. Et, ensevelis là-dessous, très discrètement, des «règles » et des « résumés du cours ».

Bon, ce n'est sûrement pas politiquement correct de dire ça, mais cette approche est stupide : étudier n'est pas jouer, jouer n'est pas étudier.

La grande force - mais évidemment également la grande faiblesse - du jeu, c'est qu'il est sans conséquence : on peut gagner ou perdre, réussir ou échouer... Ce n'est qu'un jeu. Alors, on s'y prête quand on le veut, on laisse tomber quand on se lasse.

Mais les études ne sont pas un jeu : on ne peut pas s'y impliquer à claires-voies, un jour oui, deux jours non...

Les études demandent un minimum de constance, de ténacité, de volonté... D'efforts.

Pour avoir abandonné cette culture de l'effort, notre enseignement - je parle de l'enseignement des mathématiques dans le secondaire, le seul que je connaisse - s'est affadi, vidé de sa substance. Au cours des 30 ou 40 dernières années, imperceptiblement au début - presque sournoisement, puis de plus en plus franchement, il s'est réduit à la transmission de quelques techniques, de quelques formules plus ou moins magiques... Arrachées à un univers étrange et vouées à y retourner rapidement.

J'ai connu tous les programmes "récents" - et leurs évolutions - de ceux d'avant 1975 à ceux de 2008... Le mot qui me vient irrémédiablement à l'esprit est : décadence. Et croyez bien qu'il me déplaît.

Oui les programmes de 75 étaient denses. Peut-être trop. Pourtant, un tiers des collégiens s'y retrouvait.

Ne croyez pas que je trouve cela suffisant : je me suis battu toute ma vie contre cet élitisme, contre l'idée qu'au collège il était « normal » qu'un tiers des élèves réussisse en maths, qu'un second tiers surnage plus ou moins et que le troisième tiers soit « largué ».

Tout comme je me suis battu contre l’idée, également très répandue, qu'au collège, il fallait avoir la « bosse des maths » pour réussir. Je ne dis pas que tous les collégiens ont les mêmes capacités, simplement qu'ils ont tous (ou à peu près tous) suffisamment de capacité pour réussir les mathématiques du collège.

Alors, pourquoi ce naufrage ?

D'abord, est-ce vraiment un naufrage ? 

À mon sens, oui, mais d'autres penseront que non.

Ce que je sais, c'est que nos différents gouvernements ont, tous, affirmé qu'ils voulaient pour la France un enseignement de haut niveau, en mathématiques. 

Et pour tous !

Ce que je sais également, c'est qu'il y a 40 ans (à l'entrée en scène de la réforme dite «Haby »), un tiers des collégiens avait ce « haut niveau »... Et que maintenant, plus aucun collégien (de l'enseignement public, en tout cas) n'en approche : comparer les connaissances attendues en troisième, en 1975, et celles de nos programmes actuels me donne envie de pleurer. Vraiment. Ce n'est pas du toute une figure de style !

Que s'est-il passé ? Un complot ? Je l'ai entendu bien des fois, mais je n'y crois pas - et ça rend les choses encore plus tragiques. Je crois en la bonne volonté de toutes ces personnes qui ont contribué à l'effondrement des mathématiques au collège.

Je crois qu'elles voulaient des mathématiques pour tous. Mais moi aussi !

Elles ont commencé par réduire un peu les exigences, et peut-être avaient-elles raison. Mais « un peu » aurait suffi.

Elles ont constaté que deux tiers des collégiens continuaient à bouder les maths. Elles ont pensé que c'était encore trop difficile, elles ont réduit un peu plus les exigences... Et la glissade s'est accélérée. Malgré d'importants moyens financiers destinés à l’introduction de l'informatique.

Alors, encore une fois, pourquoi ?

Je n'ai pas de certitude, je ne peux qu'interpréter ce que j'ai vécu, ce que j'ai ressenti.

Et j'ai ressenti, chez mes élèves en tout cas, un ennui de plus en plus profond à mesure que les ministères successifs « rabotaient » les programmes, les cantonnaient aux techniques rituelles dont je parlais tout à l'heure.

Et ce, malgré tous les efforts pour les « divertir ». 

Peu à peu, même les « bons » se sont laissés gagner par l'ennui, ont sagement appliqué leurs petites formules... Sans trop chercher à réfléchir.

Puis certains de ces élèves sont devenus profs. Et certains de ces profs ont, bien naturellement, privilégié des techniques. Je n'aurai certainement pas le mauvais goût de le leur reprocher : ils sont les premières victimes du système.

Voulez-vous le fond de ma pensée ? On a perdu les maths, parce qu'on les a rendues sinistres.

Mais pouvait-on faire autrement ? Sans pour autant sacrifier deux tiers de nos collégiens ?

Il serait extrêmement prétentieux de ma part de dire « oui, je l'ai fait ! »

D'une part, il m'a fallu des années de tâtonnements pour obtenir à peu près l'efficacité que je souhaitais (et pendant quelques-unes de ces années-là, j'ai certainement été un prof déplorable).

D'autre part, mes élèves sont loin d’avoir tous atteint ce que mon dernier principal appelait « le niveau de l'excellence ».

Ce qui est vrai - et oui, j'en suis fier - c'est que la très grande majorité d'entre eux a aimé « faire des maths » avec moi, et que je n'ai « largué » à peu près personne.

Qu'ai-je fait d'exceptionnel ? Alors là, vraiment rien. Promis !

J'ai juste fait des maths : je les ai juste fait rêver un peu, imaginer. Particulièrement en géométrie - mais pas seulement.

J'ai découvert avec eux qu'ils prenaient tous plaisir à découvrir : à découvrir des objets, des raisonnements... Et qu'ils avaient un cerveau, un vrai. Pas juste un truc qui sert à rabâcher.

J'ai découvert aussi qu'ils avaient besoin de savoir de quoi nous parlions, qu'il fallait que tout ait un sens pour eux - et alors, ils s'enflammaient facilement, ils voulaient approfondir.

Alors, j'ai commencé à écrire pour eux, à essayer de donner un peu de vie au point, à la droite, au plan... Mais également aux nombres, aux structures numériques, à tout ce qui est à l’origine des maths que nous enseignons.

Et ça marche !

Comment voulez-vous que qui que ce soit s'intéresse à un fragment - totalement isolé - de raisonnement ?

Que ce soit le théorème de Thalès  (« ... Donc, d'après, extraits », puis "triangles") ou de Pythagore (dans une démonstration certainement bien plus artificielle que celle d'Euclide, mais plus rapidement accessible à des collégiens !), ou celui des « produits en croix »... ou n'importe quel autre ?

Ce qui les a intéressés, c'est de construire : de partir de presque rien, et d'arriver à ces théorèmes. De prendre conscience de leur intelligence. Du fait qu'un théorème, ce n'est pas une incantation magique inventée par un génie. Qu'ils pouvaient retracer l'histoire, la genèse, de chaque théorème - et pourquoi pas, en inventer eux-mêmes (des pas trop compliqués !)

Et oui, je les ai intéressés. Plus précisément, les maths les ont intéressés. Et à partir de là, appliquer ce qu'ils avaient compris, ce qu'ils s'appropriaient, devenait bien plus simple.

Et, encore une fois, je pense que je ne suis pas un prof exceptionnel. Que la très grande majorité des profs déteste assassiner les maths et rabâcher des formules. Et qu'ils peuvent tous, chacun à sa façon, faire rêver leurs élèves.

Après tout, s'ils sont devenus profs de maths, c'est parce que les maths « leur parlaient », non ?

Merci de votre fidélité à ce blog,

   et passez de très belles fêtes !

Philippe Colliard

« En cheminant avec Kakeya », Prix Tangente 2015

Le « Prix Tangente 2015 » vient d'être décerné à Vincent Borrelli et à Jean-Luc Rullière, pour leur livre « En cheminant avec Kakeya » (ENS éditions), et je suis très, mais vraiment très heureux du choix du jury. D'une part, parce que Jean-Luc Rullière est à la fois un collègue et un ami de Mathieu Morinière (qui est, lui, l'un de mes plus proches amis, un promoteur acharné de «... Donc, d'après... », et l'autre administrateur de ce blog).

D'autre part parce qu’à sa parution Mathieu avait eu la gentillesse de m'en envoyer un exemplaire, et que nous étions tous deux persuadés que ce livre DEVAIT être le « Tangente 2015 » (bon, il est vrai que, l'an dernier, nous pensions la même chose de mon livre… Mais on ne peut pas avoir toujours tort, n'est-ce pas ?)

http://tropheestangente.com/photos_dossier_de_presse.php

En 1917, le mathématicien japonais Sôichi Kakeya posait une question apparemment anodine :

existe-t-il une plus petite surface (en terme d'aire ) à l'intérieur de laquelle il serait possible de déplacer une aiguille de manière à la retourner complètement ?

La première surface qui vient vraisemblablement à l'esprit est un disque, dont l'aiguille serait un diamètre : en pivotant de 180° autour du centre de ce disque, elle balaie le disque sans jamais en sortir... Et se retourne.

Mais est-ce la plus petite surface ?

Ce n'est qu'en 1928 - 11 ans plus tard – que le mathématicien (russe, celui-là : les mathématiques n'ont pas de frontières) Abram Besicovitch prouva que :

Non : il est possible de retourner une aiguille dans une surface dont l'aire est aussi petite que l'on veut.

Prouva ! Ce n'est pas de la prestidigitation... C'est de la science !

C'est tout le cheminement vers ce théorème de Besicovitch que raconte ce « voyage au cœur des mathématiques » de Vincent Borrelli et Jean-Luc Rullière... Mais pas seulement : si l'aiguille de Kakeya est le fil directeur du livre, elle est également à l'origine de pages limpides sur le calcul différentiel et sur les fractales.

Juste ce qu'il faut pour structurer la pensée de lycéens de terminale ou d'étudiants, pour instiller un peu de piment dans leurs mathématiques, les sortir de la routine... Les inciter à la réflexion, quoi !

Bref, lisez-le :)

Et prenez également le temps de regarder cette vidéo de « Mathologer », qui propose une animation graphique que je trouve merveilleusement claire du « problème de l'aiguille de Kakeya »... En remplaçant l'aiguille par une raclette à vitres (un « squeegee ») qui nettoie parfaitement le terrain :

Merci de votre fidélité à ce blog,

à bientôt,

Philippe Colliard

Vendredi noir

Je voudrais partager avec vous un texte, que vous avez peut-être déjà lu ailleurs. C'est un simple commentaire, « anonyme », paru dans le New York Times de samedi :

France embodies everything religious zealots everywhere hate. Enjoyment of life here on earth in a myriad little ways: a fragrant cup of coffee and buttery croissant in the morning, beautiful women in short dresses smiling freely on the street, the smell of warm bread, a bottle of wine shared with friends, a dab of perfume, children playing in the Luxembourg Gardens, the right not to believe in any god, not to worry about calories, to flirt and smoke and enjoy sex outside of marriage, to take vacations, to read any book you want, to go to school for free, to play, to laugh, to argue, to make fun of prelates and politicians alike, to leave worrying about the afterlife to the dead.

No country does life on earth better than the French.

Paris, we love you. We cry for you. You are mourning tonight, and we with you. We know you will laugh again, and sing again, and make love, and heal, because loving life is your essence. The forces of darkness will ebb. They will lose. They always do.

(Commentaire lu dans le NYT, signé “Blackpoodles”, de Santa Barbara)

Pour celles et ceux d'entre vous qui ne lisent pas l'anglais, en voici une traduction :

La France représente tout ce que les fanatiques religieux, d’où qu’ils soient, haïssent. Jouir de la vie présente, sur terre, de milliers de petits riens : une tasse d’un café odorant accompagné, le matin, d’un croissant au beurre, de belles femmes en robes courtes qui sourient librement sur leur chemin, l’odeur du pain chaud, une bouteille de vin partagée entre amis, une touche de parfum, des enfants qui jouent au jardin du Luxembourg, le droit de ne croire en aucun dieu, de ne pas s’inquiéter des calories, de flirter et fumer et jouir du sexe hors-mariage, de prendre des vacances, de lire les livres de son choix, d’aller à l’école gratuitement, de jouer, de rire, d’avoir des discussions, de se moquer des prélats comme des politiques, de laisser aux morts les questions sur l’après-vie.

Aucun pays sur terre ne vit sur Terre mieux que les Français.

Paris, nous t’aimons, nous pleurons pour toi. Tu es en deuil ce soir, et nous avec toi. Nous savons que tu riras encore, chanteras encore, feras l’amour, et guériras car aimer la vie est en toi. Les forces des ténèbres reflueront. Elles perdront. Elles perdent toujours.

Mais rien ne ramènera à la vie, à leurs familles, à leurs amis ceux qui, ce vendredi, sont morts.

Alors je pleure pour leur disparition, pour tous ceux qui les connaissaient, les aimaient, et qui ont vécu - qui vivent encore - un cauchemar.

Philippe Colliard

Morosité

Il y a des soirs, comme ça, où je trouve le ciel lourd, les nuages inquiétants... Des soirs où mon humeur est particulièrement morose. Des soirs comme celui-ci, où la relecture de « l'enseignement de la géométrie » de Gustave Choquet me ramène plus de 40 ans en arrière, où je retrouve sa conception de l'enseignement... Et ce qu’il en est advenu !

Je ne sais pas si la géométrie fait partie des éléments nécessaires d'une culture bien construite.

Ce que je sais, c'est qu'entre la compréhension qu'en avait un élève de 15 ans raisonnablement attentif en 1975 et celle que peut en avoir un élève du même âge, même très studieux, en 2015... Il y a un gouffre !

Pourquoi ? J'y reviendrai peut-être dans un autre article, si je m'en sens la légitimité. Ce soir, je voudrais juste essayer de vous faire partager ce sentiment de gouffre.

Lisez tout d'abord ce que Gustave Choquet écrivait, en 1964, dans l'introduction à son livre :

Le problème est moins simple aux âges intermédiaires, disons entre 13 et 16 ans.

L'enfant commence à comprendre ce qu'est une démonstration; chez certains s'éveille une véritable soif de logique, indiquant que le temps est venu d'aborder sérieusement le raisonnement déductif. On va donc faire établir par l'enfant des morceaux de raisonnement déductif, en prenant soin de lui faire toujours préciser ses prémisses.

Il est donc indispensable que le maître de ces enfants dispose d'une axiomatique sous-jacente complète. Diverses expériences ont d'ailleurs montré le goût que manifestent certains enfants, pour une axiomatique précise; pour ceux-ci les mathématiques apparaissent comme un jeu aux règles strictes, et ils ont une grande joie à jouer correctement ce jeu.

Il nous faut donc trouver une axiomatique simple, aux axiomes forts, c'est-à-dire donnant très vite accès à des théorèmes non évidents, et intuitifs, c'est-à-dire traduisant des propriétés de l'espace qui nous entoure faciles à vérifier.

Peu importe qu'ils ne soient pas indépendants; mais je ne pense pas qu'il soit désirable, comme l'ont préconisé certains professeurs, de prendre au départ de très nombreux axiomes : le jeu mathématique basé sur trop de règles, devient complexe et prend une allure de fragilité et d'incertitude…

(Cf cette page déjà citée, sur L’enseignement de la géométrie)

Lisez ensuite, si vous le voulez bien, les deux dernières pages (six et sept) du texte sur les axiomatiques de Choquet 
( Donc, d'après - extraits  puis "compléments" ),

où j'ai retranscrit ce qu'il a appelé son axiomatique de la « petite géométrie », c'est-à-dire une axiomatique simplifiée, destinée aux adolescent(e)s.

Lisez... Pour des élèves « raisonnablement attentifs », ces deux pages étaient - en 1975 - sinon limpides, tout au moins parfaitement compréhensibles, et j'ai eu de nombreuses occasions d'en parler à des élèves de seconde, voire de troisième, à cette époque.

Les proposeriez-vous aujourd'hui à la lecture d'un élève de seconde ?

À bientôt peut-être, et de meilleure humeur,

Philippe Colliard