L'énoncé actuel du théorème de Thalès, en France, est :
soient
cinq points distincts, A, B, C,D et E, tels que (BD) et (CE) soient sécantes en
A.
Si (BC)
et (DE) sont parallèles,
alors
les rapports AB/AD , AC/AE et BC/DE sont
égaux.
L'affirmation
réciproque de ce théorème est donc :
soient
cinq points distincts, A, B, C,D et E, tels que (BD) et (CE) soient sécantes en
A.
Si les
rapports AB/AD , AC/AE et BC/DE sont
égaux,
alors (BC)
et (DE) sont parallèles.
Seulement
voilà, cette affirmation est fausse (dans au moins une situation... Mais à moins
que les mathématiques n'aient récemment changé, c'est suffisant pour qu'il ne
s'agisse pas d'un théorème) !
Dans la
colonne « commentaires » du programme de mathématiques en classe de troisième (B.O.
spécial numéro 6 du 28 août 2008), il est écrit, à propos du théorème de Thalès
:
La réciproque est formulée en tenant compte de l’ordre
relatif des points sur chaque droite mais, dans le cadre du socle commun, les
élèves n’ont pas à distinguer formellement le théorème direct et sa réciproque.
Dans la même phrase, une erreur, donc (le théorème de
Thalès n'a pas de théorème réciproque)... ET une absurdité : « l'ordre relatif des points de deux droites »
ne peut avoir de sens que si ces droites sont parallèles ! Mais il s'agit, dans
l'esprit du rédacteur, de comparer l'ordre des points B, A et D à celui des
points C, A et E... Donc des points de deux droites sécantes.
(Je suppose que l'idée sous-jacente est d'imaginer une
sorte de direction plus ou moins proche des directions de ces deux droites -
par exemple la direction de la bissectrice des angles aigus définis par ces
droites... On peut appeler ça du bidouillage, mais sûrement pas des maths ! Et
ce bidouillage même s'effondre lorsque les deux droites sont perpendiculaires)
De nombreux professeurs l'ont certainement déjà
remarqué, mais comme je ne l'ai encore jamais vu préciser par écrit (ailleurs
que dans «... Donc, d'après... »), il ne m’a pas paru déplacé d’en reparler
ici.
En cliquant sur « ... Donc, d'après,.. »,
puis sur "triangles", vous pourrez, si vous le souhaitez, accéder aux pages de « … Donc, d’après… »
qui approfondissent cet article (p. 213 et suivantes).
Le théorème 140 qui y est mentionné à plusieurs
reprises est celui-ci :
T-140 Si une droite, parallèle à un côté d'un triangle, passe par le
milieu d'un deuxième côté de ce triangle, alors cette droite passe par le milieu du troisième côté.
Vous le retrouverez p. 199 du même extrait.
Vous le retrouverez p. 199 du même extrait.
(Vous pouvez également le retrouver, sous le numéro 51, dans le
feuillet « Géométrie plane :
théorèmes à connaître en fin de 3ème » accessible directement,
depuis le même lien
« ... Donc, d'après,.. », puis « compléments » puis « côté profs : servez-vous »)
« ... Donc, d'après,.. », puis « compléments » puis « côté profs : servez-vous »)
Et pour finir, une question : mais QUI écrit les
programmes officiels ?
A
bientôt, et merci d’être de plus en plus nombreux à consulter ce blog
Philippe Colliard
