lundi 7 septembre 2015

Priorités opératoires : restons simples !



Colonne « commentaires » du programme de mathématiques de cinquième - celui qui doit bientôt changer :

l'acquisition des priorités opératoires est un préalable au calcul algébrique. Les questions posées à propos de résultats obtenus à l'aide de calculatrices peuvent offrir une occasion de dégager les priorités opératoires usuelles.

Un préalable au calcul algébrique ? Sans aucun doute !
Mais est-il nécessaire de faire intervenir ici les calculatrices, et qui plus est, de leur attribuet un rôle de « sages », de gardiens de l'orthodoxie ? Alors que dans la colonne
« capacités » du même paragraphe, on lit :

Effectuer une succession d'opérations données sous diverses formes (par calcul mental, à la main ou instrumenté) uniquement sur des exemples numériques.

Pourquoi ne pas d'une part, s'appuyer sur des calculs mentaux simples, et d'autre part attribuer à l'humain - et en particulier au mathématicien - ce qui lui appartient ?

Pourquoi ne pas demander à nos élèves de n'avoir devant eux qu'un brouillon et un stylo, écrire au tableau un calcul comme celui-ci :   a = 30 – 20 : 5 x 2 + 18 – 8 : 4     Et  leur demander de calculer a ?

Pourquoi ne pas prendre le temps de leur montrer que les différentes réponses qu'ils obtiennent proviennent de lectures différentes de cette ligne de calcul (bon, et aussi parfois d'erreurs de calcul, c'est vrai) ?

Pourquoi ne pas leur expliquer que ce sont les mathématiciens qui se sont mis d'accord, il y a longtemps - bien avant les machines ! - sur un principe commun d'écriture et donc de lecture d'une chaîne d'opérations ?
Et que les calculatrices ont été évidemment programmées
                                                pour obéir à ce principe.

Pourquoi ne pas en profiter pour mettre en avant la volonté qu'avaient ces mathématiciens d'imposer des règles simples. Simples à mémoriser, simples à appliquer... Et aussi peu nombreuses que possible.

Bien sûr, derrière ces règles se cache une connaissance des structures numériques qui échappe à nos élèves, mais dont ils n'ont pas besoin pour les utiliser :

derrière la séparation des quatre opérations « de base » en deux familles, on retrouve les groupes (R,+) et (R*,x)  (on les retrouve également dans la possibilité de calculer
12 : 7 x 28 : 3   sous la forme  12 : 3 x 28 : 7)

Mais une fois ces deux familles identifiées, les priorités opératoires usuelles citées par le programme officiel prennent tout leur sens d’usuelles : c'est à l'usage qu'il a été choisi de donner la priorité à la famille « multiplications - divisions ». C'est à l'usage également qu'il a été décidé qu'une succession d'opérations de la même famille, sans parenthèses apparentes, sous-entendait des parenthèses emboîtées de la gauche vers la droite :
   
12 : 3 x 28 : 7 x 2  =  (((12 : 3) x 28) : 7) x 2   ...

Une séance suffit pour convaincre une classe d'interpréter une chaîne d'opérations dans l'esprit dans lequel elle a été écrite.

Une autre séance pour initier la classe à l'intérêt des parenthèses :
-     expliquer qu'une chaîne entre parenthèses est simplement un calcul qu'on a oublié d'effectuer, ou qu'on a remis à plus tard... Ou qu'on a décidé de déléguer à d'autres
- ce que peuvent faire certains ordinateurs qui travaillent en parallèle.
-     Éventuellement tempêter, si on le souhaite, contre l'idée que les parenthèses sont prioritaires (en profiter pour faire la différence entre prioritaire et incontournable !)

Une dernière séance pour observer des chaînes avec plusieurs parenthèses (en profiter, maintenant, pour malmener l'idée que les « parenthèses les plus emboîtées » doivent impérativement être traitée avant toutes les autres) - et pour vérifier, au cours d'une courte interrogation écrite, que le message est bien passé…

Et voilà ! Il me semble que les calculatrices ne viennent qu'après, éventuellement bien après :)

Si cela vous intéresse, vous trouverez mes feuilles de cours « opération et priorités »
en cliquant sur « ébauche » (elles sont naturellement en licence Creative Commons).
J'y ai également « publié », juste en dessous, une feuille d'explications (à mes élèves) de ce que j'appelais des « rams », et une feuille A4 composée d'une première « ram » sur ce thème, et de sa correction.

Merci à celles et à ceux qui continuent à s'intéresser à ce que j'écris... Et qui me le font souvent savoir en privé (peut-être que de temps en temps, un commentaire public - pas trop désagréable - serait envisageable ?)

À bientôt ?

Philippe Colliard

10 commentaires:

  1. JC a écrit :
    --- Citation ---



    Bonjour,
    D'accord sur l'inutilité et même la dangerosité de la calculatrice dans cette découverte des priorités opératoires.
    Et surtout sur le fait de profiter de toutes les occasions pour faire du calcul mental.

    Un petit truc que tu pourrais ajouter : ce qui concerne les priorité opératoires à l'intérieur d'une parenthèse
    exemple : 17 - (3 + 2 x 4)
    où le calcul des parenthèses n'est pas immédiat.

    Et j'ajoute un petit mot sur la notation polonaise inverse, (postfixée)

    On écrirait 17 3 2 4 x + - pour le calcul précédent

    alors que 17 - 3 + 2 x 4 s'écrirait 17 3 - 2 4 x +

    Ceci est sans doute de nature à embrouiller les élèves de 5e,
    mais elle est intéressante pour la programmation de l'évaluation d'expression,
    la première pouvant être transformée en arbre évaluable par la deuxième

    Je suis sûr que Roland pourrait montrer ça sur une petite animation flash.

    JC
    --- Fin de citation ---

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    1. Philippe a répondu :
      --- Citation ---
      Bonsoir JC,

      les priorités à l'intérieur d'une parenthèse :
      il me semble bien que je les ai traitées dans les feuilles de cours
      mises en lien ?
      De toute façon, dans la mesure où une () enferme une "sous-ligne" de
      calcul, les priorités usuelles s'y appliquent :)

      Quant à la notation "polonaise inverse", oui, elle est évidemment
      intéressante... Mais p'têtre pas en collège, s'pas ? :)
      Et oui aussi, je suis sûr que Roland pourrait jouer sur les arbres...
      Roland ???

      Amicalement,

      Philippe
      --- Fin de citation ---

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  2. JC a écrit :
    --- Citation ---
    La notation polonaise inverse, utilisée dans les années 70 par les calculatrices HP,
    gère les priorités en empilant les nombres (quand on fait "enter"), puis en les dépilant lors d'une opération.
    Le dernier nombre saisi ou le résultat de la dernière opération effectuée peut être considéré comme le sommet de la pile.
    Ainsi, on tape
    5 [enter] 7 [enter] 3 + x
    ou
    7 [enter] 3 + 5 x

    pour calculer l'expression 5x(7+3) ou (7+3)x5

    La notation polonaise inverse permet de ne pas utiliser de parenthèses,
    et l'évaluation par un ordinateur est immédiate.
    À l'époque où les calculatrices ne permettaient pas de saisir des parenthèses,
    c'était assez génial
    on qualifie cette notation de "postfixée" car l'opération est indiquée après les opérandes
    + 3 4 serait préfixée et 3 + 4 est infixée

    On peut représenter une expression (qu'elle soit pré-, post- ou in-fixée) par un arbre,
    et le parcours de l'arbre permet de réécrire l'expression.
    pour le postfixé, de façon récursive :
    parcours de l'arbre = parcours de la branche gauche ; parcours de la branche droite ; affichage de l'opération à la racine
    avec pour une feuille de l'arbre : parcours de l'arbre = affichage de la feuille
    pour le préfixé :
    parcours de l'arbre = affichage de l'opération ; parcours de la branche gauche ; parcours de la branche droite
    avec pour une feuille de l'arbre : parcours de l'arbre = affichage de la feuille
    pour l'infixé :
    parcours de l'arbre = parcours de la branche gauche ; affichage de l'opération ; parcours de la branche droite
    avec pour une feuille de l'arbre : parcours de l'arbre = affichage de la feuille
    Pour ajouter les parenthèses, il faudrait tester que la racine est + ou -

    Du coup, l'animation flash que tu pourrais programmer permettrait de passer d'une des 4 représentations (arbre, post-, pré-, in-) aux trois autres.
    De quoi passer une bonne soirée auprès de ton arbre !
    --
    Bien cordialement
    JC

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    1. Philippe a écrit :
      --- Citation ---
      juste un minuscule ajout à l'exposé magistral de JC :

      "La notation polonaise inverse permet de ne pas utiliser de
      parenthèses,
      et l'évaluation par un ordinateur est immédiate."

      ... Parce qu'en assembleur, les commandes "push" et "pop"
      correspondent précisément à ce système de "piles" ! :)

      Amicalement,
      --
      Philippe
      --- Fin de citation ---

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  3. JC a écrit :
    --- Citation ---
    On sort peut-être un peu du sujet, mais comme l'algorithmique va intégrer les programmes,
    la notion de pile est vraiment intéressante (et fondamentale pour l'appel de fonctions).
    L'empilage et le dépilage sont des opérations simples à réaliser par un ordinateur,
    alors que la lecture d'une expression algébrique est assez ardue (pour un humain de 12 ans y compris)

    une pile est un espace mémoire munie d'un pointeur (qui pointe toujours sur le sommet de la pile)
    empiler une valeur signifie incrémenter (augmenter [de 1]) le pointeur de pile, et écrire la valeur dans la case mémoire indiquée par le pointeur ;
    à l'inverse,
    dépiler signifie lire la valeur de la case mémoire indiquée par le pointeur de pile, puis décrémenter le pointeur.

    Ce fonctionnement limite volontairement l'accès à cette mémoire,
    et permet un fonctionnement très structuré

    Je ne sais pas si ça intéresse des gens, mais c'est une invention géniale,
    de celles qui ne portent pas de nom mais par lesquelles l'informatique a fait des bonds.

    Bien cordialement,
    --
    JC
    --- Fin de citation ---

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    1. Roland Dassonval a écrit :
      --- Citation ---
      Pour les lecteurs intéressés, une présentation vidéo a été ajoutée :
      http://rdassonval.free.fr/flash/flash2015.html
      --- Fin de citation ---

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  4. Roland Dassonval a écrit :
    --- Citation ---
    Je reviens d'un voyage d'étude sur l'arboriculture polonaise ; ce qui m'a aidé à passer le temps, merci.
    Un programme en test :
    http://rdassonval.free.fr/flash/polonaise.swf
    Merci de me signaler les erreurs à corriger, les modifications à apporter.
    Une occasion pour des élèves de sixième ou cinquième (?) de revoir les conventions d'écriture habituelles, les traductions en arbres (bestioles qui ont de l'avenir dans l'enseignement des maths).
    --
    Roland Dassonval.
    --- Fin de citation ---

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    1. JC Salmon a répondu :
      --- Citation ---
      Ça c'est du beau travail,
      le passage d'une représentation aux deux autres peut vraiment aider les élèves à comprendre.
      La notation avec parenthèses et priorités me semble être la plus complexe à comprendre,
      car elle donne une impression de linéarité (renforcée par le fait que les calculs se font de gauche à droite lorsqu'aucune priorité ne s'applique

      L'arbre est très clair en tout cas.

      Juste une petite amélioration à prévoir (je suis pénible),
      la gestion de nombres à plusieurs chiffres, ou décimaux,
      et peut-être un jour les fractions et puissances (pour lesquelles les règles de priorité changent puisque leur notation comporte "presque" des parenthèses)
      mais je vois bien qu'il y a un un certain travail informatique à faire pour l'expression algébrique [ça ne change rien pour l'arbre ni pour la NPI]
      (C'est peut-être facile à régler avec des expressions régulières)

      Merci pour ceci, il y a certainement de quoi comprendre ce qui fait obstacle à la compréhension chez les élèves,
      et comment y remédier.
      En tout cas on comprend la difficulté que pose cette écriture d'expressions,
      qui demande à la fois maîtrise des règles et esprit de synthèse.
      --
      JC
      --- Fin de citation ---

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  5. Roland Dassonval a répondu :
    --- Citation ---
    Merci pour le retour.
    Des ajouts d'autres nombres au hasard de l'ordinateur sont possibles. Mais je ne me suis pas compliqué l'existence avec d'autres exemples qui pourraient être proposés comme exercices au tableau ou sur papier...
    Des vieux machins pour exercices :
    http://rdassonval.free.fr/flash/priorite.html
    http://rdassonval.free.fr/flash/priorite2.html
    --- Fin de citation ---

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    1. Philippe a répondu :
      --- Citation ---
      Bonsoir JC, bonsoir Roland,

      ... et merci pour ton travail, Roland...
      Je savais bien qu'on pouvait compter sur toi :)
      (JC,tu en demandes tout de même beaucoup !
      Mais tu le sais :):) )

      Amicalement,
      --
      Philippe
      --- Fin de citation ---

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