Une histoire d'infinis

A tale of two infinities, Both a like in dignity… (Shakespeare, Roméo et Juliette - ou presque !)

Deux infinis, tous deux respectables... 

Mais l'un des deux est immensément plus vaste que l'autre!

Le premier infini, le « petit », est celui de l'ensemble des nombres entiers naturels : ceux qui depuis des milliers d'années, servent à compter.

Les mathématiciens considèrent qu’il y a ℵ0 nombres entiers naturels ( « ℵ » est la première lettre de l'alphabet hébreu et « ℵ0 » se lit « aleph-zéro » )... ℵ0 n'est bien sûr pas lui-même un entier naturel, même s'il sert à les 

« compter » : il n'existe pas d'entier naturel « ultime », plus grand que tous les autres. ℵ0 est le « plus petit des nombres infinis ». 

Plutôt que « il y a ℵ0 nombres entiers naturels », les mathématiciens disent « le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est ℵ0 » ! 

Mais c'est également celui des nombres entiers relatifs :
                                                 les entiers naturels ET leurs opposés...

C'est encore celui des nombres décimaux (les positifs et les négatifs)...

Et c'est toujours celui des nombres rationnels (les fractions - positives et négatives).

Oui, c'est le même infini, ou, pour le dire autrement : il y a exactement autant d'entiers naturels que d'entiers relatifs, de nombres décimaux ou de nombres rationnels !

Ce n'est évidemment pas évident : le « simple bon sens » nous dit que, puisque les entiers sont des fractions particulières (celles dont, sous forme irréductible, le dénominateur est 1), et puisqu'il y a beaucoup d'autres fractions, il doit y avoir bien plus de fractions que de nombres entiers naturels.

Mais le simple bon sens se trompe - ou nous trompe - tout comme il nous trompe lorsque nous croyons qu'un grand segment a plus de points qu'un petit...

Et comme pour les segments ( un grand segment a-t-il plus de pointsqu'un petit ?),

tout repose sur le sens du mot « autant ».

Le second infini, le « grand », est celui de l'ensemble des nombres réels...

Et non, ce n'est pas le même que l'autre infini : les mathématiciens considèrent qu’il y a ℵ₁  

(« aleph-un ») nombres réels… 

Ou, pour être exact, ils considèrent que, si on accepte « l'hypothèse du continu », il y a ℵ₁ nombres réels... Ils préfèrent dire que le cardinal de l'ensemble des nombres réels est ℵ₁ ! 

(Appliquée à l'ensemble des entiers naturels et à celui des nombres réels, « L'hypothèse du continu » affirme qu'il n'existe pas d'ensemble dont le cardinal est « coincé » entre celui du premier ensemble et celui du second : strictement supérieur au premier et strictement inférieur au second...

Pourquoi « hypothèse » ? Parce que, tout comme la géométrie, les ensembles de nombres s'étudient à partir d'axiomes...

Et personne, à partir des axiomes utilisés actuellement - anticipés par Georg Cantor puis formalisés par Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel, ne peut prouver que cette affirmation est vraie, ni d'ailleurs qu'elle est fausse : elle est «indécidable». Peut-être y verra-t-on un jour un axiome ?).

En cliquant sur « ébauches, servez-vous » , puis sur « deux infinis », vous accéderez à un petit fichier de deux pages : la première page illustre une démonstration classique du fait qu'il y a autant de nombres rationnels que d'entiers naturels.

La deuxième page illustre la démonstration tout aussi classique (la « diagonale » imaginée par Georg Cantor) du fait qu’il y a plus de réels que d'entiers naturels.

Élèves, parents, collègues ou passants qui passent, ces pages sont à votre disposition,

sous licence « Creative Commons ». 

N'hésitez pas à les utiliser si elles vous plaisent...
Ni à laisser des commentaires ici, agréables ou non. 

À bientôt,

Philippe Colliard.

Une AUTRE histoire des chiffres

Où vous apprendrez enfin pourquoi le zéro s'écrit « 0 » !

Non, bien entendu, ça ne s'est PAS passé comme ça !

"Hi-Ati , ou la création des chiffres" est une histoire que j'ai composée sur le modèle des 
" Histoires comme ça " de Kipling… Mais sans son talent !

Vous y retrouverez, en filigrane, la notion d'ensembles équipotents, de classes d'équivalence.

Tout ce qui permet d’expliquer les chiffres... Sans le vocabulaire mathématique.

Ce n'est qu'une histoire !

Ecrite en 1975, publiée par Luc Thanassecos pour «l’Impensé Radical » en 1980, elle me permet toutefois encore maintenant d’introduire la numération.

Soyez indulgents, et s'il vous plaît, ne vous fâchez pas !

(Pour la toute petite histoire, un mathématicien qui passait devant la vitrine de "l'Impensé radical" est tombé en arrêt devant ce qui était à l'époque un poster... Puis il est entré en trombe dans la librairie en prenant le pauvre Luc à partie et en vociférant qu’il était inadmissible de traiter aussi légèrement un sujet aussi sérieux !)

Voilà. Vous trouverez (comme d'habitude) cette histoire

en cliquant sur « ébauches, servez-vous » ...

Et bien entendu, elle est à votre disposition, sous licence « Creative Commons ».

Après quelques articles sérieux, une pause s'imposait :)

Bonne soirée,

-- 

Philippe Colliard.

La "trigo" au collège : pour la semaine des maths, un accès d'humeur... Et un outil sympa !

 (Article mis à jour le 24  janvier 2022)

 

Commençons par l'accès d'humeur : je ne supporte pas, mais pas du tout « socatoa » ! Comment ? Ça ne s'écrit pas comme ça ? Mais qu'est-ce que vous voulez que ça me fasse, puisque je vous dis que je ne le supporte pas ? A mon sens, ça ne devrait pas s'écrire du tout !

D'une part, il y a des « h » qui s'y baladent un peu partout, mais comment pouvez-vous savoir où, puisque les « h » ne se prononcent pas ? Un élève m'a récemment dit : « mais monsieur, c'est facile, ça commence par s-o-h, puisque le sinus, c'est côté opposé sur hypoténuse »... Autrement dit, c'est parce qu'il savait ce qu'était le sinus qu'il pouvait retrouver la place du « h ». Ça ne choque personne ?

D'autre part, les « a » sont supposés y signifier «adjacent », mais que signifie « côté adjacent » ? Un côté est un segment, donc une ligne : une ligne n'est pas adjacente toute seule - pas plus qu'une droite ne peut être parallèle toute seule. Et comme deux lignes sont adjacentes lorsqu'elles ont une frontière commune (et que ce point-frontière est leur seul point commun), deux côtés d'un triangle sont toujours adjacents ! Ou, si vous le préférez, chaque côté d'un triangle est adjacent aux deux autres... Alors, même si « adjacent » se rapportait à un seul côté, aucun d'entre eux ne mériterait particulièrement l'appellation de « côté adjacent ».

Si l'idée était de parler de celui des côtés (d'un des angles aigus) qui n'est pas l'hypoténuse, pourquoi ne pas l'appeler tout simplement le « petit côté » de l'angle ? Mais peut-être que ça ne fait pas sérieux ?

En quatrième, où le seul rapport que les élèves doivent mémoriser est le cosinus, ils retiennent très facilement « petit côté (de l'angle) sur grand côté (de l'angle) »... Ce qui ne veut bien sûr pas dire qu'il faut, en quatrième, réduire la trigonométrie à cette récitation.

Voilà pour l'accès d'humeur - et je vous prie de m'en excuser.

L'outil sympa, maintenant.

En cliquant sur « introduction à la trigo ,  trigonométrie ,  trigomètre », vous accédez à trois textes sur la trigonométrie au collège. Les deux premiers sont mes anciens cours (à votre disposition sous licence Creative Commons).

Le troisième porte sur un outil - mais il n'est plus gratuit - qui permet de déterminer par simple lecture une valeur approchée de la mesure d'un angle aigu, de son cosinus et de son sinus... Ou le cosinus ou le sinus d'un angle dont on connaît la mesure... Ou réciproquement.

Je distribuais chaque année un trigomètre à chacun de mes élèves. Ça marchait plutôt bien.

(La première année, avec mes élèves, nous avions appelé ce truc un « trigonomètre »... C'était beaucoup trop long !)

Pour en terminer, je précise que le premier des trois textes n'est vraiment qu’une introduction, juste une petite touche de culture générale en troisième... mais que dans le deuxième texte, vous pourrez découvrir par quel mot je remplace « socatoa ». Ce n'est encore, bien sûr, qu'une méthode automatique, appuyée sur un nouveau mot magique, mais il me semble qu'il est tout de même plus approprié... Et certainement plus universel.

      Philippe Colliard

Spécial profs: petit memento des définitions et théorèmes utilisés au collège

 (Article mis à jour le 18  février 2022)

 

 

Parmi les 155 définitions et les 205 théorèmes démontrés dans «... Donc, d'après... », un groupe de professeurs a fini par se mettre d'accord - après de longs et difficiles marchandages :) - sur 68 définitions et 84 théorèmes qui leur semblaient correspondre à ce qu'il était raisonnable d'attendre d'un élève en fin de troisième.

Il s'agit évidemment d'éléments étudiés tout au long de leur scolarité au collège, de la sixième à la troisième.

Ayant la chance de disposer d'imprimantes A3 recto-verso
- en utilisant la configuration A4 vers A3, et le mode impression en livret -

nous avons donc décidé de tirer un « livret théorèmes » et un « livret définitions »

de 4 pages A4 chacun (une feuille A3 recto-verso pliée en deux) pour chaque élève des troisièmes de nos collèges.

Ils seront à leur disposition pour les DM et pour certains contrôles :
nos élèves devront alors préciser les éléments dont ils se servent
(d'après T-26, ou d'après D-14…).

Notre but n'est bien sûr pas de remplacer des phrases par des numéros
(de surcroît, des numéros à signification très locale),
mais d'habituer nos élèves à construire des raisonnements... Et à citer leurs sources !

Nous avons également décidé de distribuer ces livrets aux élèves de quatrième :

nous allons cocher avec eux les éléments qu'ils ont déjà étudiés,

puis les laisser cocher peu à peu de nouveaux éléments.

Ces deux livrets sont à votre disposition.

Vous les trouverez soit sur le site du livre , en cliquant sur « Quelques textes à la disposition des professeurs, des élèves (et de leurs parents) et des autres personnes que cela pourrait intéresser », soit en cliquant directement  sur ce lien.

 

Alors... servez-vous, si le principe vous intéresse !

Comme indiqué sur chaque livret,

ils sont publiés sous licences « Creative Commons » : 

conserver l’attribution à l'auteur (1ère ligne en haut de page) - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modifications

(Tous les renseignements sur le site de Creative Commons)

Ce serait bien que, dans la partie commentaires, vous nous fassiez part de vos réflexions,

remarques ou suggestions concernant ces livrets.

Merci :)

Philippe Colliard.

 

Les petites boîtes de Pete Seeger

Non, il ne s'agit pas de maths. Exceptionnellement.

Alors, pourquoi cet article, ici ?

Je n'ai pas de réponse absolue.

Peut-être parce l'absence de Pete Seeger me pèse.

Peut-être parce que je me retrouve dans son désir de voir le monde

sortir de la consommation et de la réplication sociale.

Peut-être parce que je vieillis.

Peut-être parce que la musique et les paroles de cette vidéo

me poursuivent depuis des décennies

(même si la vidéo, elle, est récente) !

 Ses chansons restent, mais Pete Seeger n'est plus.

Philippe Colliard