lundi 13 avril 2015

La place de la virgule

... Ou : pourquoi ce lampadaire m'a-t-il agressé ?
J'entends déjà les persiflages : le monomaniaque du point s’attaque à la virgule. Il va nous faire toute la ponctuation ?

Je pourrais, je pourrais : après tout, le point d'exclamation a aussi ses utilisations mathématiques (au moins deux : les factorielles et l'unicité) – tout comme le tiret pour la soustraction, les parenthèses (et les points-virgules) pour les couples… Et le point d’interrogation est bien sûr omniprésent dans toutes nos questions, non ?

Bon, revenons à la virgule : celle de l'écriture décimale d'un nombre - que ce nombre soit décimal ou non !
(J'aurais pu, bien sûr, me référer à l'écriture anglo-saxonne et titrer : « la place du point », mais là, je suis certain que la plupart d'entre vous aurait pensé « encore ? » et fermé cet onglet !)

Nous utilisons et nous enseignons différentes techniques de multiplication (et de division) d'un nombre écrit sous forme décimale par 10,100, 1000, etc.

L'une de ces techniques, très répandue, consiste à « déplacer la virgule ». Vers la gauche, ou vers la droite, c'est selon. Outre que les élèves qui l'appliquent semblent avoir de fréquentes difficultés avec le sens du déplacement, cette technique propage une vision « à l'envers » de ce qu'est l’écriture décimale. Cela peut sembler ne pas avoir beaucoup d'importance mais il me semble que, d'une part, contribuer à déformer la vision de nos élèves n'est pas dans nos attributions... Et d'autre part que rétablir une vision plus exacte les aide à comprendre ce qu'est la multiplication par 10,100, 1000 - et à la maîtriser !

Pourquoi une « vision à l'envers » ?
Parce que ce n'est pas la virgule qui bouge, ce sont les chiffres du nombre.

Il m'arrive d'être distrait, particulièrement en marchant. Un jour, j'ai même marché droit sur un lampadaire et je me suis fait une belle entaille au front.
« Déplacer la virgule », c'est l'équivalent de « pourquoi ce lampadaire m’a-t-il agressé ? »

Propager ce genre de questions conduirait à des tonnes d'études sur l'agressivité des lampadaires... Qui ne pourraient que perturber les âmes candides.

(En revanche, ce genre de vision a tout de même son utilité, en particulier pour les trucages de films : lors de dialogue à l'intérieur d'une voiture, c'est effectivement le paysage qu'on déplace)

Je m’égare à nouveau. Revenons à l'écriture décimale :
une écriture décimale est déterminé par ce que j’appellerai une « grille » ET par un ruban de chiffres.

La grille est une suite (au sens mathématique) de cellules (au sens d’un tableur), respectant les critères suivants :
Chaque cellule peut contenir un chiffre
La cellule d’indice 0 est celle des unités
A sa gauche, la cellule d’indice 1 est celle des dizaines et à sa droite, la cellule d’indice 2 celle des dixièmes ; celle d’indice 3 est à la gauche de celle d’indice 1, celle d’indice 4 à la droite de celle d’indice 2, etc.

Pour des raisons (évidentes ?) de compatibilité avec les puissances, on utilise dans la pratique une bijection de N sur Z, dans laquelle les indices « i » impairs ont comme image les entiers positifs « (i+1)/2 » et les indices « p » pairs ont comme image les entiers négatifs « -i/2 ».

Avec cette nouvelle indexation, les premiers éléments de la suite des cellules sont « numérotés » ainsi : 
                                      … 5   4   3   2   1   0   -1   -2   -3   -4   -5 …

… Et il est à la fois simple et pédagogiquement précieux de bricoler, à partir d’un tableau quadrillé amovible (ou par vidéo-projection) une grille de ce type… Je veux dire, bien sûr, les premiers éléments de la grille ! :)

Le ruban, lui, est une suite de chiffres (toujours au sens mathématique, n’est-ce pas ?) : si j’appelle a,b,c,d,e,f,g,h les 1ers éléments de cette suite, ils peuvent être disposés ainsi (une alternance gauche-droite :)) : 
                                                   …gecabdfh…

Mais bien sûr, la construction peut être tout autre, il suffit que l’écriture soit illimitée à gauche et à droite.

… Et là encore, il est pratique de construire une succession d’une douzaine de chiffres, avec des intervalles correspondant à la grille : par exemple  en scotchant des feuilles A4 sur un mètre rigide – il faut bien recycler les « vieux » instruments :)
(Rien à voir, mais vous pouvez en voir un autre recyclage dans un de mes articles précédents :   vous avez dit parallélogrammes ?  )

Alors, à deux positions différentes du ruban sur la grille correspondront deux nombres différents (si l’on excepte les « nombres » dont l’écriture est périodique à gauche et à droite… Mais il n’est pas d’usage de considérer qu’une écriture décimale illimitée à gauche représente un nombre – sauf s’il s’agit de zéros).

En particulier - c’est une conséquence de la construction de la grille - tout déplacement du ruban d’un cran vers la gauche résulte en un nombre 10 fois plus grand que le précédent, tout déplacement d’un cran vers droite en un nombre 10 fois plus petit.

Ah oui, j’oubliais : la cellule numérotée  « -1 » commence par une virgule. 
LA virgule ! :) 
Celle qui ne bouge PAS.

Et qui, dans la pratique, repère la grille, la résume, la rappelle, permet de la sous-entendre (de la sous-voir ?)…
Imaginez qu’en cliquant dessus, vous pouvez afficher la grille, ou la masquer !

Voilà. En pratique, également, vous trouverez ici (licence Creative Commons) les feuilles que je distribuais à mes élèves de sixième (et de cinquième !) : 

                la place de la virgule 

Apparemment, ça « marchait » plutôt bien ! 
 (Evidemment, je ne leur parlais pas de suites, de bijections, de puissances… Mais les multiplications ou les divisions par 10, 100, 1000 ne semblaient pas leur poser trop de problèmes)

Un dernier point  (tiens, le point réapparaît) :

la virgule PEUT « bouger », ou, plus précisément, sembler bouger, lorsque vous effectuez un changement d’unité. Mais d’une part, vous n’écrivez plus le même nombre, mais ce que Stella Baruk appelle un « nombre de » (vous êtes obligé d’associer une unité au nombre) – et d’autre part, ce n’est encore qu’une illusion d’optique :
en réalité, vous avez remplacé une grille par une autre (vous avez « éteint » une 1ère grille, puis « allumé » une autre, avec une unité différente).

C’est ce que j’essaie de faire comprendre dans la dernière des 4 pages en référence… Et qui n’a rien à voir avec une multiplication !

Merci de votre attention,
Et … A bientôt ?

Philippe Colliard

7 commentaires:

  1. Michel Suquet a écrit :
    --- Citation ---
    Bonsoir Philippe,

    Personnellement, j'ai une autre interprétation de la virgule. Cette
    interprétation est une conséquence de ce que j'ai compris quand je me
    suis intéressé à l'histoire du système décimal.

    Le système décimal a été inventé une 1ère fois vers le Xe siècle par
    Ibrahim Al-Uqlidisi (sa notation consistait à repérer le chiffre des
    unités par une apostrophe et le nombre était surmonté par une barre
    horizontale) puis réinventé par Simon Stevin vers le XVIe siècle (sa
    notation consistait à repérer le chiffre des unités par un 0 entouré
    au-dessus du chiffre, le chiffre des dixièmes par un 1 entouré au-dessus
    du chiffre et ainsi de suite pour les centièmes, les millièmes…

    Par la suite, la notation de Stevin a été simplifiée ou modifiée de
    façons très diverses jusque vers le XVIIIe/XIXe siècle. Au XIXe/XXe, des
    conférences internationales ont fixé cette écriture.

    Ainsi, le rôle de la virgule est de repérer où se trouve le chiffre des
    unités (en fait, c'est le seul vestige d'un tableau dont on pouvait lire
    toutes les légendes).

    C'est très pratique pour les changements d'unités
    ou dans les divisions et multiplications par les puissances de 10 ou
    encore dans l'écriture scientifique qui est un mixte des deux.

    Reste le problème que pratiquement tous les manuels et les profs
    (primaire et secondaire) présentent la virgule comme un séparateur. Et
    c'est d'ailleurs comme cela que je l'ai appris moi-même.

    Cette présentation, apparue je ne sais quand, n'est pas correcte d'un point de
    vue historique et induit des erreurs compréhensibles et tenaces chez
    nombre de nos élèves.

    Corriger le tir est un travail qui demande du
    temps, le temps que les nouvelles générations de profs conscientes du
    rôle de la virgule de repère soient majoritaires parmi nous.

    À bientôt,
    --
    Michel Suquet

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    Réponses
    1. Philippe Colliard a répondu :
      --- Citation ---
      Bonsoir Michel,

      historiquement, bien sûr, tu as raison :)
      ... Et ce n'est pas une autre interprétation,
      dans le sens où la virgule a toujours servi de marqueur,
      pas de séparateur.

      Si je me suis permis, dans ma présentation scolaire,
      de la déporter d'un cran à droite, c'est parce qu'il m'a semblé
      que j'en améliorais (pédagogiquement) l'abord :
      ça permet au "rideau de droite" de mon texte de l'occulter
      dans le cas des entiers. Mais rien de plus, n'est-ce pas ?
      Ce n'est pas l'avancée pédagogique du siècle ! :)

      Amicalement,
      --
      Philippe

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  2. Michel Suquet a écrit :
    --- Citation ---
    Philippe Colliard a écrit :
    > ... Et ce n'est pas une autre interprétation,
    > dans le sens où la virgule a toujours servi de marqueur,
    > pas de séparateur.

    Le problème est que quelqu'un (puis tous, pourquoi ?) l'ont présenté
    comme un séparateur…

    > Si je me suis permis, dans ma présentation scolaire,
    > de la déporter d'un cran à droite, c'est parce qu'il m'a semblé
    > que j'en améliorais (pédagogiquement) l'abord :
    > ça permet au "rideau de droite" de mon texte de l'occulter
    > dans le cas des entiers.

    Ben justement, avec les entiers, on n'a pas besoin de repérer le chiffre
    des unités mais cela doit se discuter pour les personnes qui ont des
    problèmes avec la droite et la gauche.

    Et il doit bien exister des langues pour lesquelles les nombres s'écrivent dans un autre sens…

    À mon avis, cet artifice est contre-productif car on éloigne le repère
    de ce qu'il doit repérer.

    À+,
    --
    Michel Suquet

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    Réponses
    1. Philippe Colliard a écrit :
      --- Citation ---
      Bonjour Michel, bonjour JC,
      ... Et bonjour à tou(te)s

      tout d'abord, il me semble effectivement dangereux de considérer la virgule comme un séparateur : c'est inciter les élèves à voir deux nombres (entiers) dans chaque décimal - et donc à les traiter séparément dans les opérations... Avec les conséquences désastreuses que nous connaissons tous.

      Nous considérons donc la virgule comme un marqueur - mais le marqueur de quoi ?

      Historiquement, des unités, et il y a une page fort bien faite là-dessus, sur «maths-et-tiques » :

      http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/nombres/les-decimaux

      Mais doit-on s'en tenir à l'histoire lorsqu'elle n'est pas logique ?

      Telle qu'elle est placée, entre les unités et les dixièmes, la virgule peut s'interpréter d'au moins trois façons :

      1) une séparation entre deux entiers... Mais ça, nous n'en voulons pas ;

      2) le marqueur d'une grille, positionné à la fin de la partie entière d'un nombre (interprétation historique)

      3) le marqueur d'une grille, positionné au début de la partie non - entière d'un nombre (ma position).

      Pourquoi l'interprétation n° 3 me semble-t-elle raisonnable ?

      Parce que l'interprétation historique signifie : attention, vous allez quitter le secteur des entiers. Ce n'est pas gênant, si le nombre que nous lisons est 92,317 …

      Mais si nous considérons un entier comme un décimal particulier « quatre-vingt-douze » devrait alors s'écrire : « 92, » !

      Cet inconvénient disparaît naturellement avec la troisième interprétation, qui, elle, signifie : là, nous entrons dans le secteur non entier de la grille…

      Et qui m'a permis la mise en place des rideaux que vous avez pu découvrir en cliquant sur le lien référencé dans l'article du blog.

      (Ce lien-ci : http://mathemagique.com/pour-ebauches.html ,
      inséré dans cet article : http://mathemagique-com.blogspot.fr/2015/04/la-place-de-la-virgule.html

      Je me permets de les redonner, après m'être aperçu que moins de 15 % des lecteurs de l'article avaient cliqué dessus... Ce qui contribue peut-être à expliquer certaines interprétations :) )

      Quant à ta remarque, Michel - et son approbation par JC :) -
      permettez-moi, en toute amitié, d'être d'un autre avis, pour deux raisons :

      d'une part pourquoi le repère devrait-il davantage repérer la sortie de la zone entière plutôt que l'entrée de la zone non entière ?

      D'autre part, cet enseignement des décimaux en sixième et cinquième m'a semblé extrêmement efficace - autant pour les calculs mêlant entiers et non entiers que pour l'introduction des fractions.

      Maintenant, évidemment, c'est une raison subjective ! :)
      --
      Amicalement,
      Philippe Colliard

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  3. JC Salmon a écrit :
    --- Citation ---
    Bonjour,

    Ce que dit le groupe Ermel : pas de séparateur, qui induit trop d'erreurs :
    http://cocluses.org/irem/
    • Ermel - fractions et décimaux (à partir de la p25)
    • Charnay - décimaux à l'école élémentaire

    Marquer la fin ou du début de quelque chose revient à mon avis à un séparateur,
    et faire la distinction est un artifice de sémantique qui ne change pas à mon avis la conception que les élèves ont,
    ni les erreurs que cela induit.

    Si la virgule est vue comme marqueur du chiffre des unités (on pourrait le mettre dessous), il y a continuité au passage de ce chiffre, dans un sens comme dans l'autre, et nous sommes loin de l'idée de séparateur.

    Une collègue prof des écoles, qui est passée de "décaler la virgule" à "promouvoir/dégrader chaque chiffre"
    confirme que l'année où elle a changé, aucun élève n'a fait les erreurs qu'elle voyait habituellement dans les comparaisons
    Il faudrait une étude plus vaste bien sûr.

    C'est autour du chiffre des unités que la symétrie a du sens : entre dizaines et dixièmes, centaines et centièmes, etc,mais aussi 10^1 et10^-1 ; 10^2 et 10^-2, etc.

    Je me méfie de l'"efficacité", qui ne doit pas être mesurée sur l'instant,
    et qui ne peut pas être mesurée sur le long terme (parce qu'on ne sait pas mesurer ça).

    Le décalage de la virgule est à mon avis efficace à très court terme,
    mais il faut se demander quelles conceptions accompagnent l'élève plus longtemps.
    --
    JC

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    1. Philippe Colliard a écrit :
      --- Citation ---
      Re-bonjour JC,

      « Marquer la fin ou du début de quelque chose revient à mon avis à un séparateur, et faire la distinction est un artifice de sémantique qui ne change pas à mon avis la conception que les élèves ont, ni les erreurs que cela induit. »

      De sémantique, je ne le crois pas : mais il est vrai que tout est dans le regard :)

      « Si la virgule est vue comme marqueur du chiffre des unités (on pourrait le mettre dessous), il y a continuité au passage de ce chiffre, dans un sens comme dans l'autre, et nous sommes loin de l'idée de séparateur. »

      En quoi ne serait-ce plus vrai si la virgule marque la cellule des dixièmes ?

      « Une collègue prof des écoles, qui est passée de "décaler la virgule" à "promouvoir/dégrader chaque chiffre" confirme que l'année où elle a changé, aucun élève n'a fait les erreurs qu'elle voyait habituellement dans les comparaisons . Il faudrait une étude plus vaste bien sûr. »

      Je ne comprends pas : c’est exactement ce que je dis, ce que je propose (avec le ruban de chiffres) et ce que j’ai appliqué depuis au moins 10 ans ???

      Mon « étude » n’est pas vaste, mais elle porte tout de même sur au moins 600 élèves :)

      « C'est autour du chiffre des unités que la symétrie a du sens : entre dizaines et dixièmes, centaines et centièmes, etc,mais aussi 101 et10-1 ; 102 et 10-2, etc. »

      Là, je ne te suis pas : tu veux vraiment, en 6ème et 5ème, introduire l’idée de cellules dont les unités sont symétriques (au sens de la multiplication) ?

      D’une part, cela leur apporte-t-il quelque chose, et d’autre part, n’est-ce pas un moyen involontaire de renforcer une perception de « séparation » (entre 2 ensembles de cellules) ?

      « Le décalage de la virgule est à mon avis efficace à très court terme,
      mais il faut se demander quelles conceptions accompagnent l'élève plus longtemps. »

      Pitié, JC, je suis CONTRE le « décalage de la virgule » - c’est même le thème mon article et des feuilles de cours qui vont avec !

      Bon, je ne te convaincrai pas, tu ne me convaincras pas… Et c’est très bien ainsi : si nous avions toujours tous les mêmes idées sur tout, le monde serait, « à mon avis :) », sinistre !

      Amicalement,
      --
      Philippe

      PS : je voudrais tout de même préciser que je n'ai pas beaucoup d'intérêt pour les décimaux, je veux dire mathématiquement :

      au final, (D,+,x) n'est qu'un sous-anneau de (Q,+,x), dont les dénominateurs sont restreints aux puissances de 2 et de 5... Socialement, évidemment, c'est autre chose, et les écritures décimales sont incontournables !

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  4. JC a écrit :
    --- Citation ---
    On remarque que l'ordre dans lequel on aborde nombres décimaux et fractions change entre la primaire et le collège.

    En primaire, les fractions et unités partagées permettent de découvrir en particulier les nombres décimaux, alors qu'au collège on introduit les fractions comme cas particulier de quotients, dont le numérateur et le dénominateur sont entiers.

    Ainsi, on considère souvent que le nombre décimal est connu avant la fraction,
    et que les élèves maîtrisent l'écriture décimale, ce qui est assez faux.

    Les élèves n'aiment pas en général les fractions, peut-être qu'eux aussi pensent que l'écriture décimale est plus simple.

    Les nombres décimaux ont un usage "social" certes, mais aussi un intérêt mathématique, car ils permettent d'approcher n'importe quel nombre réel à une précision donnée.

    Les ordinateurs préfèrent la base 2 pour des raisons technologiques.

    En base 7, le nombre 3,1 est une approximation à deux millièmes près (≈7^-3) de ∏

    En base 113, le nombre 3,G (G étant le 16e chiffre) en est une approximation à 3 dix-millionièmes près (3.10^-7 ≈ 113^-3,2 donc de l'ordre de 113^-3)

    Le renforcement de l'algorithmique au collège permettra peut-être de réintroduire les bases, qui montrent que la base 10 n'est qu'un cas particulier, choisi arbitrairement parce qu'on a 10 doigts ? (je pose la question)
    --
    JC

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La parole est à vous :)