La place de la virgule

... Ou : pourquoi ce lampadaire m'a-t-il agressé ?

J'entends déjà les persiflages : le monomaniaque du point s’attaque à la virgule. Il va nous faire toute la ponctuation ?

Je pourrais, je pourrais : après tout, le point d'exclamation a aussi ses utilisations mathématiques (au moins deux : les factorielles et l'unicité) – tout comme le tiret pour la soustraction, les parenthèses (et les points-virgules) pour les couples… Et le point d’interrogation est bien sûr omniprésent dans toutes nos questions, non ?

Bon, revenons à la virgule : celle de l'écriture décimale d'un nombre - que ce nombre soit décimal ou non !
(J'aurais pu, bien sûr, me référer à l'écriture anglo-saxonne et titrer : « la place du point », mais là, je suis certain que la plupart d'entre vous aurait pensé « encore ? » et fermé cet onglet !)

Nous utilisons et nous enseignons différentes techniques de multiplication (et de division) d'un nombre écrit sous forme décimale par 10,100, 1000, etc.

L'une de ces techniques, très répandue, consiste à « déplacer la virgule ». Vers la gauche, ou vers la droite, c'est selon. Outre que les élèves qui l'appliquent semblent avoir de fréquentes difficultés avec le sens du déplacement, cette technique propage une vision « à l'envers » de ce qu'est l’écriture décimale. Cela peut sembler ne pas avoir beaucoup d'importance mais il me semble que, d'une part, contribuer à déformer la vision de nos élèves n'est pas dans nos attributions... Et d'autre part que rétablir une vision plus exacte les aide à comprendre ce qu'est la multiplication par 10,100, 1000 - et à la maîtriser !

Pourquoi une « vision à l'envers » ?
Parce que ce n'est pas la virgule qui bouge, ce sont les chiffres du nombre.

Il m'arrive d'être distrait, particulièrement en marchant. Un jour, j'ai même marché droit sur un lampadaire et je me suis fait une belle entaille au front.
« Déplacer la virgule », c'est l'équivalent de « pourquoi ce lampadaire m’a-t-il agressé ? »

Propager ce genre de questions conduirait à des tonnes d'études sur l'agressivité des lampadaires... Qui ne pourraient que perturber les âmes candides.

(En revanche, ce genre de vision a tout de même son utilité, en particulier pour les trucages de films : lors de dialogue à l'intérieur d'une voiture, c'est effectivement le paysage qu'on déplace)

Je m’égare à nouveau. Revenons à l'écriture décimale :
une écriture décimale est déterminé par ce que j’appellerai une « grille » ET par un ruban de chiffres.

La grille est une suite (au sens mathématique) de cellules (au sens d’un tableur), respectant les critères suivants :
Chaque cellule peut contenir un chiffre
La cellule d’indice 0 est celle des unités
A sa gauche, la cellule d’indice 1 est celle des dizaines et à sa droite, la cellule d’indice 2 celle des dixièmes ; celle d’indice 3 est à la gauche de celle d’indice 1, celle d’indice 4 à la droite de celle d’indice 2, etc.

Pour des raisons (évidentes ?) de compatibilité avec les puissances, on utilise dans la pratique une bijection de N sur Z, dans laquelle les indices « i » impairs ont comme image les entiers positifs « (i+1)/2 » et les indices « p » pairs ont comme image les entiers négatifs « -i/2 ».

Avec cette nouvelle indexation, les premiers éléments de la suite des cellules sont « numérotés » ainsi : 
                                      … 5   4   3   2   1   0   -1   -2   -3   -4   -5 …

… Et il est à la fois simple et pédagogiquement précieux de bricoler, à partir d’un tableau quadrillé amovible (ou par vidéo-projection) une grille de ce type… Je veux dire, bien sûr, les premiers éléments de la grille ! :)

Le ruban, lui, est une suite de chiffres (toujours au sens mathématique, n’est-ce pas ?) : si j’appelle a,b,c,d,e,f,g,h les 1ers éléments de cette suite, ils peuvent être disposés ainsi (une alternance gauche-droite :)) : 
                                                   …gecabdfh…

Mais bien sûr, la construction peut être tout autre, il suffit que l’écriture soit illimitée à gauche et à droite.

… Et là encore, il est pratique de construire une succession d’une douzaine de chiffres, avec des intervalles correspondant à la grille : par exemple  en scotchant des feuilles A4 sur un mètre rigide – il faut bien recycler les « vieux » instruments :)
(Rien à voir, mais vous pouvez en voir un autre recyclage dans un de mes articles précédents :   vous avez dit parallélogrammes ?  )

Alors, à deux positions différentes du ruban sur la grille correspondront deux nombres différents (si l’on excepte les « nombres » dont l’écriture est périodique à gauche et à droite… Mais il n’est pas d’usage de considérer qu’une écriture décimale illimitée à gauche représente un nombre – sauf s’il s’agit de zéros).

En particulier - c’est une conséquence de la construction de la grille - tout déplacement du ruban d’un cran vers la gauche résulte en un nombre 10 fois plus grand que le précédent, tout déplacement d’un cran vers droite en un nombre 10 fois plus petit.

Ah oui, j’oubliais : la cellule numérotée  « -1 » commence par une virgule. 
LA virgule ! :) 
Celle qui ne bouge PAS.

Et qui, dans la pratique, repère la grille, la résume, la rappelle, permet de la sous-entendre (de la sous-voir ?)…
Imaginez qu’en cliquant dessus, vous pouvez afficher la grille, ou la masquer !

Voilà. En pratique, également, vous trouverez ici (licence Creative Commons) les feuilles que je distribuais à mes élèves de sixième (et de cinquième !) : 

   « ébauches,servez-vous »  puis "la place de la virgule".

Apparemment, ça « marchait » plutôt bien ! 
 (Evidemment, je ne leur parlais pas de suites, de bijections, de puissances… Mais les multiplications ou les divisions par 10, 100, 1000 ne semblaient pas leur poser trop de problèmes)

Un dernier point  (tiens, le point réapparaît) :

la virgule PEUT « bouger », ou, plus précisément, sembler bouger, lorsque vous effectuez un changement d’unité. Mais d’une part, vous n’écrivez plus le même nombre, mais ce que Stella Baruk appelle un « nombre de » (vous êtes obligé d’associer une unité au nombre) – et d’autre part, ce n’est encore qu’une illusion d’optique :
en réalité, vous avez remplacé une grille par une autre (vous avez « éteint » une 1^ère grille, puis « allumé » une autre, avec une unité différente).

C’est ce que j’essaie de faire comprendre dans la dernière des 4 pages en référence… Et qui n’a rien à voir avec une multiplication !

Merci de votre attention,
Et … A bientôt ?

Philippe Colliard