Dans les coulisses de l'arborescence : les angles

Je l'ai déjà écrit ailleurs, "... Donc, d'après..." n'est ni un ouvrage de vulgarisation, ni un mémoire d'universitaire.

Il n'est qu'une tentative de construction de la géométrie - principalement plane - imposée aux collégiens et aux lycéens par les programmes du secondaire. Une construction aussi rigoureuse qu'il m'a semblé possible de le faire sans quitter le cadre de ces programmes.

Définir les éléments de cette construction ne s'est pas fait en un jour, et j'ai parfois dû batailler contre moi-même pour rester dans l'optique du secondaire actuel... Puis, l’ayant accepté, pour remettre en question certaines de mes habitudes.

Les angles en sont un bon exemple.

Dans le " septième voyage " du livre ( Donc, daprès puis, dans " extraits " cliquez sur " Partie 1 : la base de la base " ), après trois pages d'introduction (frontière et adjacence), j'en arrive à une définition des angles, suivie de quelques commentaires :

D-42 Angle : surface plane limitée par deux demi-droites de même origine.

N’oublie pas que ces deux demi-droites définissent deux angles (adjacents) !

…

Il est possible que ton prof. te définisse un angle comme la ligne formée par les deux demi-droites adjacentes. Je l’ai fait pendant très longtemps. Alors, un angle est-il une ligne ou une surface ? C'est une grave question (bien que limitée au collège et au lycée parce qu'après, un angle est défini très différemment !)... Pour des raisons de structure de ce livre, je préfère considérer ici un angle comme une surface…

Et là, dans ces dernières lignes, se cachent des heures de combat :

d'une part, pour ne pas « m’égarer » vers les rotations ou les vecteurs, alors que j'en mourais d’envie (le logiciel de CAO dont j'avais conçu le cœur ne s'appelait pas « Vectoria » par hasard !)

D'autre part, parce que pendant des années, j'avais effectivement considéré, au collège, un angle comme une ligne !

Pourquoi ai-je finalement décidé d'y voir une surface ? Et... Quelle importance ?

C'est en travaillant sur le sens du mot « périmètre » que j'ai sauté le pas, que je suis passé de l'angle-ligne à l’angle-surface. Étrange ? Au premier abord, peut-être. Mais dès qu'on creuse un peu...

Etymologiquement, « périmètre » est une « mesure autour », la mesure de la ligne-frontière d'une surface limitée : un disque, qui est une surface, a comme périmètre la longueur de son cercle-frontière.

En revanche, un cercle, qui n'est pas une surface, n'a pas de périmètre : comme toute ligne limitée - fermée ou non - il a une longueur !

(Peut-être devrais-je préciser ici que pour structurer «... Donc, d'après... », J'ai constamment privilégié - lorsqu'il y avait ambiguïté ou querelle de chapelles - l'étymologie par rapport à l'histoire : le « sens natif » d'un mot n'évolue pas alors que son « sens historique » peut varier selon l'humeur de l'époque)

Un cercle, donc, n'a pas de périmètre, parce qu'un cercle n'est pas une surface.

Alors qu'en est-il des polygones ? Il est habituel de parler du « périmètre d'un polygone » - de même, d'ailleurs que de « l'aire d'un polygone », alors que l'expression « longueur d'un polygone » est extrêmement rare. D'où mon choix, dans le livre, de définir un polygone comme une surface. Choix que je n'aurais pas eu à faire si, comme pour « cercle » et « disque », il existait deux mots différents, l'un pour la surface et l'autre pour la frontière d'un polygone !

Mais les angles, dans tout ça ? J'y arrive :)

Étymologiquement (oui, encore !) Un « polygone », c'est un « plusieurs - angles ». Et même si les Grecs ne manipulaient évidemment pas les opérations ensemblistes, il n'est pas ridicule de se poser la question : « plusieurs, au sens de quelle opération ? »

La réponse ne peut certainement pas être au sens de la réunion : qu'on décide d'envisager un angle comme une ligne ou comme une surface, il s'agit d'un élément illimité - et la réunion d'éléments illimités est illimitée, alors qu'un polygone ne l'est pas.

L’intersection, alors ? Pourquoi pas, mais à deux conditions :

      -   d'une part, décider qu'un angle est une surface - l'intersection d’angles-lignes serait un ensemble limité de points,

      -   d'autre part, restreindre - au moins dans un premier temps (le collège) - le mot « polygone » à des surfaces convexes (des polygones élémentaires)... quitte à l'étendre ensuite à toute réunion d'un ensemble fini de ces polygones élémentaires.

En procédant ainsi, l'étymologie de « polygone » prend tout son sens, et le travail sur les polygones également, puisqu’il devient naturel d'envisager une décomposition d'un polygone concave en polygones convexes (qui en seraient des polygones élémentaires)... et de s'intéresser de près aux angles de ces polygones !

Voilà pourquoi il m’a bien fallu admettre que définir au collège les angles comme des surfaces était plus efficace, plus prometteur que les définir comme des lignes. Mais ça n'a pas été sans résistance de ma part :)

Voilà également pourquoi les polygones convexes font une apparition discrète dès la partie 1 du livre (les sept « voyages ») , dans un chapitre qui porte principalement sur les angles… Et dont vous comprenez peut-être mieux maintenant pourquoi il commence par définir « frontière », « périmètre » et « adjacents », alors que l'étude proprement dite des polygones ne prend place que dans la partie 3 (Évolutions dans un plan).

Maintenant, angle-ligne ou angle-surface... Est-ce vraiment important ?

Là encore, je l'ai déjà dit ailleurs : je suis contre toute pensée unique.

Bien entendu, pour écrire «... Donc, d'après... », il était important que je choisisse une définition qui ne m'envoie pas dans un mur.

Mais en classe, il me semble que les deux restent acceptables, à condition toutefois de leur associer un vocabulaire adapté : si vous décidez que l'angle est une ligne, alors il sépare le plan en deux « secteurs angulaires »... Et la « mesure de l'angle » est habituellement en ce cas - au collège - la mesure du secteur angulaire convexe (de chacun des secteurs angulaires convexes dans le cas des angles plats), excepté pour l'angle « nul » !

Ligne ou surface... L'important est de permettre une réflexion, n’est-ce pas ?

Merci de votre fidélité à ce blog, et, je l’espère, à bientôt ?

Philippe Colliard