Je
l'ai déjà écrit ailleurs, "... Donc, d'après..." n'est ni un ouvrage de vulgarisation, ni un
mémoire d'universitaire.
Il
n'est qu'une tentative de construction de la géométrie - principalement plane -
imposée aux collégiens et aux lycéens par les programmes du secondaire. Une
construction aussi rigoureuse qu'il m'a semblé possible de le faire sans
quitter le cadre de ces programmes.
Définir
les éléments de cette construction ne s'est pas fait en un jour, et j'ai
parfois dû batailler contre moi-même pour rester dans l'optique du secondaire
actuel... Puis, l’ayant accepté, pour remettre en question certaines de mes
habitudes.
Les
angles en sont un bon exemple.
Dans
le " septième voyage " du livre ( Donc, daprès
puis, dans " extraits " cliquez sur " Partie 1 : la base de la base " ), après trois pages d'introduction (frontière et
adjacence), j'en arrive à une définition des angles, suivie de quelques
commentaires :
D-42 Angle : surface plane limitée par deux demi-droites de même
origine.
N’oublie pas que ces deux
demi-droites définissent deux angles (adjacents) !
…
Il
est possible que ton prof. te définisse un angle comme la ligne formée par les
deux demi-droites adjacentes. Je l’ai fait pendant très longtemps. Alors, un
angle est-il une ligne ou une surface ? C'est une grave question (bien que
limitée au collège et au lycée parce qu'après, un angle est défini très
différemment !)... Pour des raisons de structure de ce livre, je préfère
considérer ici un angle comme une surface…
Et là, dans
ces dernières lignes, se cachent des heures de combat :
d'une part,
pour ne pas « m’égarer » vers les rotations ou les vecteurs, alors que j'en
mourais d’envie (le logiciel de CAO dont j'avais conçu le cœur ne s'appelait
pas « Vectoria » par hasard !)
D'autre
part, parce que pendant des années, j'avais effectivement considéré, au
collège, un angle comme une ligne !
Pourquoi
ai-je finalement décidé d'y voir une surface ? Et... Quelle importance ?
C'est en
travaillant sur le sens du mot « périmètre » que j'ai sauté le pas, que je suis
passé de l'angle-ligne à l’angle-surface. Étrange ? Au premier abord,
peut-être. Mais dès qu'on creuse un peu...
Etymologiquement,
« périmètre » est une « mesure autour », la mesure de la ligne-frontière d'une
surface limitée : un disque, qui est une surface, a comme périmètre la
longueur de son cercle-frontière.
En
revanche, un cercle, qui n'est pas une surface, n'a pas de périmètre : comme
toute ligne limitée - fermée ou non - il a une longueur !
(Peut-être
devrais-je préciser ici que pour structurer «... Donc, d'après... », J'ai
constamment privilégié - lorsqu'il y avait ambiguïté ou querelle de chapelles -
l'étymologie par rapport à l'histoire : le « sens natif » d'un mot n'évolue pas
alors que son « sens historique » peut varier selon l'humeur de l'époque)
Un cercle,
donc, n'a pas de périmètre, parce qu'un cercle n'est pas une surface.
Alors qu'en
est-il des polygones ? Il est habituel de parler du « périmètre d'un polygone »
- de même, d'ailleurs que de « l'aire d'un polygone », alors que l'expression
« longueur d'un polygone » est extrêmement rare. D'où mon choix, dans le livre,
de définir un polygone comme une surface. Choix que je n'aurais pas eu à faire
si, comme pour « cercle » et « disque », il existait deux mots différents, l'un
pour la surface et l'autre pour la frontière d'un polygone !
Mais les
angles, dans tout ça ? J'y arrive :)
Étymologiquement
(oui, encore !) Un « polygone », c'est un « plusieurs - angles ». Et même si
les Grecs ne manipulaient évidemment pas les opérations ensemblistes, il n'est pas
ridicule de se poser la question : « plusieurs, au sens de quelle opération ? »
La réponse ne
peut certainement pas être au sens de la réunion : qu'on décide d'envisager un
angle comme une ligne ou comme une surface, il s'agit d'un élément illimité -
et la réunion d'éléments illimités est illimitée, alors qu'un polygone ne l'est
pas.
L’intersection,
alors ? Pourquoi pas, mais à deux conditions :
-
d'une part, décider qu'un angle est une surface - l'intersection d’angles-lignes
serait un ensemble limité de points,
- d'autre part, restreindre - au moins dans un
premier temps (le collège) - le mot « polygone » à des surfaces convexes (des
polygones élémentaires)... quitte à l'étendre ensuite à toute réunion d'un
ensemble fini de ces polygones élémentaires.
En
procédant ainsi, l'étymologie de « polygone » prend tout son sens, et le
travail sur les polygones également, puisqu’il devient naturel d'envisager une décomposition
d'un polygone concave en polygones convexes (qui en seraient des polygones
élémentaires)... et de s'intéresser de près aux angles de ces polygones !
Voilà pourquoi
il m’a bien fallu admettre que définir au collège les angles comme des surfaces
était plus efficace, plus prometteur que les définir comme des lignes. Mais ça
n'a pas été sans résistance de ma part :)
Voilà
également pourquoi les polygones convexes font une apparition discrète dès la
partie 1 du livre (les sept « voyages ») , dans un chapitre qui porte
principalement sur les angles… Et dont vous comprenez peut-être mieux maintenant
pourquoi il commence par définir « frontière », « périmètre » et « adjacents »,
alors que l'étude proprement dite des polygones ne prend place que dans la partie
3 (Évolutions dans un plan).
Maintenant,
angle-ligne ou angle-surface... Est-ce vraiment important ?
Là encore,
je l'ai déjà dit ailleurs : je suis contre toute pensée unique.
Bien
entendu, pour écrire «... Donc, d'après... », il était important que je choisisse
une définition qui ne m'envoie pas dans un mur.
Mais en
classe, il me semble que les deux restent acceptables, à condition toutefois de
leur associer un vocabulaire adapté : si vous décidez que l'angle est une ligne,
alors il sépare le plan en deux « secteurs angulaires »... Et la « mesure de
l'angle » est habituellement en ce cas - au collège - la mesure du secteur
angulaire convexe (de chacun des secteurs angulaires convexes dans le cas des angles
plats), excepté pour l'angle « nul » !
Ligne ou surface...
L'important est de permettre une réflexion, n’est-ce pas ?
Merci de
votre fidélité à ce blog, et, je l’espère, à bientôt ?
Philippe
Colliard
