mardi 11 novembre 2014

Limite, continuité(s)... Les boules !



Ceux d'entre vous qui ont lu «... Donc, d'après... » le savent déjà : s'astreindre à n'observer que dans une droite ou dans un plan ce que nous, êtres humains, sommes équipés pour observer dans un espace de dimension trois ne me semble pas être une nécessité pédagogique. L'élément dans lequel nous nageons est « l'espace » : le concept de plan et celui de droite ne nous sont nullement familiers. C'est dans cet esprit que j'ai introduit et étudié les symétries planes à partir des symétries dans l'espace... Dont l'observation ne s'est pas montrée particulièrement ardue !

Dans le même esprit, il me semble possible d'aborder les notions de limite, de complétude et de continuité (simple ou uniforme) sans étriquer notre champ de vision - et sans s'encombrer de lettres grecques !

Les points de départ ?

D'une part, notre espace et sa métrique « naturelle », tels que nous les percevons - et que ces notions, une fois acquises, nous permettront d'approfondir.

D'autre part, des « boules d'espace »... Ce qu'en géométrie, on appelle tout naturellement des « boules » : l'ensemble des points de l'espace enfermés dans une sphère. En décidant ici que les boules que nous observerons seront « écorchées » (strictement l'intérieur d'une sphère) et non-dégénérées : leurs frontières ne seront pas des sphères réduites à un point (des sphères à rayon nul).

Enfin, accepter de porter un double regard sur les points de notre espace… Tout comme, dans un article précédent, j’avais porté un double regard sur les entiers naturels (vision usuelle, vision « spectrale ». L’article est ici :

De quel double regard s’agit-il cette fois-ci ?

Du « regard algébrique » ou du « regard topologique ».

Le « regard algébrique » se focalise sur un point, qu'il observe en toute indiscrétion !

Le « regard topologique » évite soigneusement de se porter sur un point - pour ne pas le gêner, pour ne pas donner l'impression de l'observer ? - mais il observe très soigneusement un voisinage de ce point... Et il en infère ce que devrait être le comportement de ce point pour ne pas trancher sur son voisinage. Dis-moi qui tu fréquentes je te dirai qui tu es - ou qui tu devrais être ! 


Le but ?

Tenter une approche presque strictement visuelle des rudiments de l'analyse.

... Mais en deux parties : dire que R (ou Rn) est continu n'a pas le même sens que dire "la fonction f est continue".
Dans le 1er cas, on s'intéresse à un espace dans lequel les suites de Cauchy convergent : un espace complet ;
dans le second, on s'intéresse aux convergences des "suites-images" (par f) de suites convergentes sur R.

Selon les besoins, j'observerai soit des boules « ancrées », définies par un centre et un rayon, soit des boules « vagabondes », uniquement définies par un diamètre.
Oui, bien sûr, un rayon permet de déterminer un diamètre, et réciproquement... Mais tout est dans le regard, dans l'utilisation : ce n'est pas par hasard que les deux ont un nom !

Et comme ceci est un article de blog, pas un cours de maths... Il n'y aura pas de dessins :)
mais rien ne vous empêche, évidemment, de dénicher quelque part une feuille de papier, un crayon, et d'en faire, vous, des dessins !

À titre anecdotique, à l'origine de cet article, il y a les premières pages de ce qui est, pour moi, une curiosité pré-historique : le 1er poly un peu dense que j'ai écrit, pour des terminales C de l'époque, en ... 1974 :)
Il était certainement mal construit, grandiloquent et fumeux, mais soyez charitables : je commençais ma 3ème année de prof !
(Je l'ai retrouvé très récemment... Apparemment, j'y ai rajouté quelques remarques ou interrogations, un peu plus tard. Je ne sais plus quand)

Il est là. (Et il y a même un dessin en première page) :


Et maintenant, quelques définitions nécessaires… Ensuite, à vos crayons !  

Première partie : Rn est continu (au sens de « a la puissance du continu »)

Je me contenterai de n = 3 ; j'appelle E l'ensemble des points de notre espace.

Suite de points de E : une application de N vers E. Chaque point de la suite est donc image d’au moins un entier.
Ou, plus simplement : je choisis des points de E - ceux qu'il me plaît de choisir - et je les numérote : point numéro 0, point numéro 1, point numéro 2... En imaginant que j'y passe ma vie, et que je suis immortel !

Indice d’un point (d’une suite de points de E) : un entier dont ce point est l’image. (Le « numéro » du point. Cet entier indique – ou indexe – le point !)

Terme ou Point indexé (d’une suite de points de E) : le couple formé d’un point et d’un entier dont il est l’image.
Au lieu d'écrire, par exemple, (P,5) et de parler de la première ou de la deuxième place du couple, il est d'usage dans les suites d'écrire P5 et de parler du point ou de l'indice du point indexé.
Si un même point P a plusieurs indices, par exemple 5, 12 et 23, il lui correspond plusieurs points indexés de la suite (ici :  P5 , P12  et  P23), puisque deux couples sont différents si l’une de leurs places place diffère :)
L'ensemble des points indexés est totalement ordonné (d'après l'ordre canonique sur N), et il est courant d'écrire les points indexés d'une suite suivant cet ordre - et de parler des
« premiers points indexés de la suite », puis, par abus de langage, des « premiers points de la suite ».

« Terme » est plus général, et donc bien plus usité que « point indexé » (bien souvent, une suite porte sur autre chose que des points !)... Mais ici, j'observe notre espace de points, donc ce sera « point indexé » :)

Rang d'un point indexé : son indice ou, s'il en a plusieurs, l'un de ses indices - pas nécessairement le plus petit !

Suite stationnaire : telle qu’à partir d'un certain rang, tous les entiers suivants indiquent le même point.

« Presque tous les points indexés de la suite » : tous les points indexés de la suite, à l'exception d'un nombre fini d'entre eux.
Ou encore : tous les points indexés de la suite, à partir d'un certain rang.

(le point) A est limite de la suite : quelle que soit la boule centrée en A que j'observe, elle contient « presque tous les points indexés de la suite ».
Ici, «quelle que soit la boule...» est un raccourci pour «quel que soit le rayon de la boule...»

La suite converge en A :  (le point) A est limite de la suite. :)

La suite converge (sous-entendu en un point de notre espace) : il y a un point de notre espace qui est limite de la suite (je n'ai juste pas précisé lequel !)

 A, B, C … sont des points d'accumulation de la suite : quelle que soit la boule centrée en A (ou B, ou C …) que j'observe, elle contient une infinité de points indexés de la suite - mais rien ne dit qu'elle n'en laisse pas non plus échapper une infinité !   (Si une suite converge, son point-limite est son seul point d'accumulation)

Suite dite « de Cauchy » : suite telle que, quel que soit le diamètre que je choisis, il existe un rang après lequel toute paire de points indexés de cette suite est prisonnière d’une boule de ce diamètre.
(après lequel… Donc d’indices supérieurs à ce rang)

Notre espace est complet : toute suite de Cauchy y converge.

Deuxième partie : continuité d'une fonction numérique réelle en un point - ou sur un intervalle :

Boules de R :

                f étant une fonction numérique réelle, a et b étant des réels quelconques,
« rayon » et « diamètre » caractérisant des réels strictement positifs :

     boule centrée en a, de rayon r : intervalle ouvert ] a – r ; a + r [  (centre est pris au sens de la symétrie centrale !)
     boule de diamètre d : intervalle ouvert ] a , b [  tel que la distance entre a et b soit  d

Image par f d’une boule : ensemble des images par f des éléments de la boule (et non, ce n’est pas nécessairement une boule ! J )

f est continue en a : f(a) existe et, quelle que soit la boule B centrée en f(a), il existe une boule centrée en a dont l'image est incluse dans B.

(Rapidement : l'image algébrique de a et son image topologique doivent exister toutes les deux... Et être la même !)

f est continue sur un intervalle de R : f est continue en tout point de cet intervalle.

(Lorsqu'une fonction numérique réelle est continue sur un intervalle de R, l'image de cet intervalle par cette fonction est encore un intervalle... Et le graphe de la fonction est une partie complète de R2 : en bref, on peut le représenter par une « ligne continue traçable » !)

f est uniformément continue sur un intervalle de R :
quel que soit le diamètre d1 choisi, il existe un diamètre d2 tel que, quelle que soit la position d'une boule de ce diamètre d2 à l’intérieur de l'intervalle observé, l'image par f de cette boule est incluse dans une boule de diamètre d1.
(A l’intérieur de l’intervalle observé : aucun des nombres de la boule ne « sort » de l’intervalle !)

Merci encore de suivre ce blog, et ... A bientôt ?

Philippe Colliard

P.S. : bizarrement, de nombreux commentaires ont été rédigés AVANT cet article... C'est le monde à l'envers ! Mais en réalité, il s'agit de commentaires portant sur une sorte d'ébauche rapide de l'article, postée quelques jours plus tôt dans « mathlyc », une liste que j'apprécie beaucoup.

17 commentaires:

  1. Phillippe Colliard a écrit :
    --- Citation ---
    Bonjour à tous,

    il me semble que les difficultés liées aux limites ne viennent pas de
    ce qu'est la limite d'une suite, mais de ce qu'on parle de plusieurs autres
    limites !

    Dès qu'on dispose d'une métrique, la limite d'une suite me paraît
    visuellement simple : un point (ou un nombre...) est limite d'une suite
    équivaut à : quelle que soit la boule centrée en ce point (nombre), elle
    contient "presque" tous les éléments de la suite ! ( "presque" pour :
    sauf un nombre fini d'éléments )

    Là où ça se complique, c'est, d'une part, cette habitude de dire que les
    éléments de la suite "tendent vers" cette limite, ce qui donne une idée
    de mouvement là où il n'y en a pas...

    Et d'autre part, d'asséner sans précautions, dans le cas de la tangente t
    à un graphe Gf, en un point A, d'abscisse a, que t est la limite des
    droites (AB) , (B étant un point de Gf), lorsque "B tend vers A" : il
    s'agit là d'un abus de langage, bien pratique, mais qui nécessite
    peut-être d'être signalé, non ?

    En réalité, on associe à la suite des (AB) une suite de nombres (la
    mesure de l'angle entre (AB) et t, par exemple... Ou, évidemment, la
    tangente de l'angle entre (AB) et l'axe des abscisses, si on veut
    introduire les nombres-dérivés), on observe que cette suite de nombres
    converge, et on décide d'appeler "droite-limite" la droite associée à ce
    nombre-limite.

    Le même type d'abus de langage se retrouve - avec des conséquences
    pédagogiques - à propos de la continuité : dire que R est continu n'a
    pas le même sens que dire "la fonction f est continue".

    Dans le 1er cas, on observe les convergences de suites de R ; dans le second, les
    convergences des "suites-images" (par f) de suites convergentes de R.

    Bon, quelqu'un a-t-il un peu d'aspirine ?

    Purement à titre de curiosité pré-historique, je viens de mettre en
    ligne le 1er poly un peu dense que j'ai écrit, pour des terminales C de
    l'époque, en ... 1974

    Il était certainement mal construit, grandiloquent et fumeux, mais soyez
    charitables : je commençais ma 3ème année de prof !

    (Je viens de le retrouver... Apparemment, j'y ai rajouté quelques
    remarques ou interrogations, un peu plus tard. Je ne sais plus quand)

    Si ça vous tente, il est là : http://mathemagique.com/pour-nostalgie.html

    A bientôt ?
    --
    Philippe Colliard

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    1. Le 28 Oct 2014 Rudolf Bkouche a répondu :
      --- Citation ---
      Le point de vue cinématique n'est pas une illusion d'optique,
      c'est une conception de la limite qui a toujours sa signification.
      Et c'est ce point de vue qui permet de comprendre la notion de vitesse instantanée.

      La question n'est pas une question pédagogique, c'est une question mathématique.
      On travaille toujours au carrefour de l'intuition et de la rigueur.

      La question n'est pas non plus celle du sentiment par rapport aux mathématiques modernes.

      La réforme des mathématiques a oublié un pan de l'activité mathématique,
      la part intuitive qu'elle a opposé à la rigueur formelle ;
      une erreur épistémologique qui ne pouvait qu'entraîner une erreur pédagogique.

      Comme mathématicien, je serais plutôt formaliste, mais cela ne fait pas oublier la part d'intuition
      du travail mathématique, pas plus que le recours intuition ne peut
      faire oublier les aspects formels du discours mathématique.

      Mais lire Bourbaki demande du travail. Lorsqu'on découvre Bourbaki
      après des études classiques, c'est un émerveillement.

      Les mathématiques n'ont pas été maladroitement expérimentées dans l'enseignement ;
      elles ont leur place en fin d'enseignement, peut-être en TS si l'enseignement antérieur est consistant.

      Mais racontées trop tôt, elles perdent leur sens.
      La modernité scientifique n'est pas transparente et le rôle de l'enseignement est d'y amener.

      Par contre, il serait utile de relire Hilbert, l'un des inventeurs des méthodes formalistes qui écrit,
      dans "Geometry and Imagination" (je ne saurai écrire le titre allemand qui renvoie à la place de
      l'intuition dans la géométrie)

      Citation
      "In mathematics, as in any scientific research, we find two tendencies
      present. On the one hand, the ten­dency toward abstraction seeks to
      crystallise the logical relations inherent in the maze of material
      that is being studied, and to correlate the material in a systematic
      and or­derly manner.

      On the other hand, the tendency toward intuitive
      un­derstanding fosters a more immediate grasp of the objects one
      studies, a live rapport with them, so to speak, which stresses the
      concrete meaning of their rela­tions."

      Ce double aspect des mathématique, l'aspect logique et la
      compréhension intuitive, doit guider l'enseignement.

      bien cordialement,
      --
      Rudolf Bkouche

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  2. Philippe Colliard a répondu :
    --- Citation ---
    Bonsoir Rudolf,

    il me semble toujours que la part d'intuition, en ce qui concerne les
    limites, peut s'appuyer au moins aussi fermement sur la densité que sur le
    mouvement.

    Et non, je ne pense pas que les maths modernes aient opposé la rigueur
    à l'intuition : les profs qui m'ont formé (dont 2 "Bourbaki") - et les
    travaux que j'ai ensuite pu mener à bien - ont toujours laissé une grande
    part à l'intuition avant de formaliser.

    Je ne pense pas non plus que ces
    maths ne devraient apparaître qu'en terminale : elles me paraissent tout
    à fait adaptées au collège (où j'ai eu la possibilité de les enseigner
    quelques années)... Tout en demandant un changement de perspective que la
    majorité des profs n'a pas eu le temps (la chance ?) de pouvoir acquérir.
    D'où un épouvantable gâchis, pour les élèves comme pour les maths !

    Le titre que tu cherches est " Anschauliche Geometrie". (Il a été co-écrit par Hilbert et Cohn-Vossen)

    Bon, je ne te convaincrai pas, tu ne me convaincras pas ... Quittons-là bons amis ?

    Amicalement, donc,
    --
    Philippe Colliard

    P.S. : j'aurais dû écrire "2 Bourbaki (Claude Chevalley et Roger Godement) et 1 demi" :
    Gustave Choquet est toujours resté en marge du groupe

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    Réponses
    1. D. P. a répondu :
      --- Citation ---
      Comment visualises-tu le "quelque soit la boule centrée" sans mouvement ?
      J'avoue que j'aime bien ce point x qui au fil du temps "n" se rapproche
      de la limite.

      Amicalement,
      --
      D. P.

      Supprimer
  3. Philippe Colliard a répondu :

    Bonsoir D. P.,

    il me semble que tu mets là le doigt sur quelque chose de fondamental :
    les points ne bougent pas, ils sont là où ils sont. Point !

    Ce qui "bouge", c'est la vision de l'observateur, qui utilise des
    optiques de plus en plus précises (des microscopes qui grossissent de plus
    en plus).

    Et c'est parce que ceci n'est à peu près jamais mis en avant que je
    ... M'énerve un peu contre l'interprétation habituelle

    (Je ne suis ni Newton ni Einstein, s'pas... Mais, d'après une vidéo du journal Le
    Monde, le principe est le même qu'ici :
    http://www.dailymotion.com/video/x28d9c7_comprendre-la-theorie-de-la-relativite-generale-d-einstein_news

    (si la trajectoire de la terre autour du soleil est elliptique, est-ce à
    cause d'un champ de gravitation créé par le soleil (Newton)...

    Ou, en l'absence de tout champ de gravitation, à cause de la déformation de
    l'espace-temps autour de ce soleil - qui fait que la trajectoire
    "rectiligne" de la Terre devient elliptique dans cet espace-temps
    (Einstein) ?)

    Encore une fois, l'image du mouvement, comme celle de la densité, sont
    des aides pédagogiques... Mais l'une, à force d'avoir été répétée,
    me semble avoir pris une ampleur démesurée par rapport à l'autre

    Amicalement également
    --
    Philippe Colliard

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    Réponses
    1. Rudolf Bkouche a répondu :
      --- Citation ---
      La question n'est pas de se convaincre.
      Il se trouve que le mouvement a joué un rôle dans la mise en palce de la notion de limite.
      En fait il y a deux façons d'introduire les limites, le mouvement et l'approximation.
      Et pour cela il y a plusieurs façons, mais on ne peut négliger le rôle du mouvement, même s'il faut savoir s'en débarrasser quand besoin est.

      Quant à la réforme des mathématiques modernes, c'est moins une question de pédagogie qu'une question de mathématiques.
      Les structures sont une invention importante, mais elles sont intervenues dans des mathématiques déjà constituées.
      Commencer par les structures oublie les objets et on ne sait plus ce qu'on structure.

      Les structures permettent de mettre de l'ordre dans les mathématiques et ne peuvent venir que dans un second temps.
      Cela n'empêche pas de parler de certaines notions lorsqu'on les rencontre, comme la notion de groupe en géométrie
      (groupes d'isométries ou de similitudes, groupe laissa,t invariant une figure, …) mais point n'est besoin de parler de la notion générale de groupe.

      Les cours que tu cites (Chevalley, Godement, Choquet) sont des cours universitaires et ils y ont leur place.
      Mais avant il vaut mieux avoir fait de la géométrie élémentaire et du calcul vectoriel (pas besoin d'avoir fait de l'algèbre linéaire pour cela),
      ou encore étudié des équations ou les notions élémentaires du calcul différentiel et intégral.

      L'ouvrage de Hilbert-Cohn-Vossen est un bon exemple de la façon dont on peut faire de la géométrie élémentaire avant de développer le formalisme linéaire.
      D'autant que la géométrie élémentaire permet de comprendre le rôle de la géométrisation dans divers chapitres des mathématiques (les espaces fonctionnels, les probabilités, etc) ou de la physique.

      Une question, difficile, que je posais aux étudiants qui préparaient le CAPES :
      quel rapport entre les "Leçons de Géométrie Elémentaire" de Hadamard et la "Géométrie" de Berger. C'est toujours un travail à faire en formation des maîtres.

      bien cordialement,
      --
      Rudolf Bkouche

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    2. Rudolf Bkouche a écrit :
      --- Citation ---
      Le mouvement est un phénomène qu'on étude en mathématiques et en physique,
      mais cette étude pose problème, comme le racontent les paradoxes de Zénon.

      Les géomètres grecs l'ont éliminé du discours scientifique, c'est-à-dire ont cherché les conditions de s'en passer.
      C'est le sens des Eléments d'Euclide. plus tard, on l'a éliminer pour développer lé mécanique rationnelle,
      le mouvement étant réduit à une fonction.

      Mais cette élimination ne le supprime pas ; elle pose la question de la place du mouvement dans les sciences.

      bien cordialement,
      --
      Rudolf Bkouche

      Supprimer
    3. Denis Chadebec a écrit :
      --- Citation ---
      Que voulais-tu dite par : " S4 finie équivaut à #DS4 appartient à N " (c'est pour le dièse que j'interroge) ?
      Un ancien codage des ensembles finis ?

      Où était défini le code "R barre" ?

      Tu as sans eu de bonnes raisons d'introduire la notion de voisinage,
      mais j'avoue qu'elle m'embrouille alors que jamais je n'ai osé user de la logique "êta epsilon" en soutien scolaire sur les limites (à tort ?).

      Les géomètres grecs l'ont éliminé du discours scientifique, c'est-à-dire ont cherché les conditions de s'en passer.
      C'est le sens des Eléments d'Euclide. plus tard, on l'a éliminer pour développer lé mécanique rationnelle, le mouvement étant réduit à une fonction
      Entre les deux, il y a le moyen âge, une période qui ne fut pas plus obscure que les précédentes ou les suivantes,
      une période ou émergea l'idée de représenter une distance parcourue par l'aire d'une surface,
      ce qui permit à Newton et Leibnitz de convaincre la communauté scientifique du XVIIe siècle d'accepter la dérivabilité de la fonction position x(t), et qui fut un argument canon...
      en première littéraire (d'après le témoignage de trois filles de cette section après une étude sur la modélisation des chutes libres par Galilée).

      Sans mentionner le dérivée, l'initiation à la vitesse instantanée a ensuite été appliquée à toutes mes classes de seconde en physique
      (but : l'accélération et le concept de force) pour bénéficier du "biais de le première impression" le jour de la rentrée de septembre.
      --
      Denis Chadebec

      Supprimer
    4. Rudolf Bkouche a répondu :
      --- Citation ---
      Il s'est passé beaucoup de choses au MO. Mais cela on l'oublie. On peut lire Oresme.
      Ce qui est intéressant, c'est de montrer comme les notions de vitesse instantanée et de dérivée se rencontrent.
      On peut retrouver cela dans de vieux livres d'enseignement professionnel des années quarante et cinquante.
      --
      Rudolf Bkouche

      Supprimer
    5. J. P. G. a répondu :
      --- Citation ---
      Le 28 oct. 2014 Rudolf Bkouche a écrit :

      L'expression "tend vers" renvoie au mouvement.

      J. P. G. a répondu :

      C'est bien ce qui différencie le point de vue de Newton par rapport à celui de Leibniz.
      Je ne nie pas l'intérêt de l'un mais je constate que l'autre est malheureusement évacué
      de notre pensée et de notre enseignement. Ça a un aspect un peu sectaire car non argumenté.
      --
      J. P. G.

      Citation
      Citation
      Le 28 oct. 2014 Philippe Colliard a écrit :

      Ce qui "bouge", c'est la vision de l'observateur, qui utilise des
      optiques de plus en plus précises (des microscopes qui grossissent de plus en plus).

      J. P. G. a répondu :

      Et le microscope mathématique n'est plus physique : un nombre "très petit" n'est pas un petit petit nombre.
      Le voir est une expérience de pensée et non une performance physique (ou algorithmique).
      --
      J. P. G.

      Supprimer
    6. Rudolf Bkouche a répondu :
      --- Citation ---
      d'autant que le point de vue de Leibniz plus algébrique est plus difficile.
      Mais ce qui importe, c'est d'amener à comprendre les deux points de vue et le lien qu'ils ont entre eux.
      --
      Rudolf Bkouche

      Supprimer
  4. Philippe Colliard a écrit :
    --- Citation ---
    Bonjour Denis Chadebec,

    # était une écriture classique de "cardinal de" ;

    Pour "R barre" , c'est à "densité" que tu dois chercher ( R est dense
    dans "R barre" ... L'adhérence de R dans R est toujours R (mais
    l'adhérence de R dans R-barre est bien R-barre !!! )

    Encore une fois, nous sommes tous différents, et ce qui t'embrouille peut m'éclairer... Ou vice-versa !

    Je profite de ce court message pour remercier J. P. G. de ses interventions

    A bientôt,
    --
    Philippe Colliard

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    Réponses
    1. Jean-Luc Giaco a écrit :
      Jean-Luc Giaco a répondu :
      --- Citation ---
      Je ne sais pas très bien ce qu'est "l'interprétation habituelle".
      Pour ma part, je n'ai jamais parlé de points qui bougent, dans ce contexte du moins.
      (Pour la tangente, c'est autre chose.)

      Pour moi, il y a une ambiguïté, j'ai l'impression (à tort peut-être) que tu associes énumération et mouvement.
      C'est peut-être là qu'est le malentendu avec R. B.

      Si on peut remettre en question l'aspect "mouvement" de la limite,
      en revanche, à mon avis, on ne peut pas gommer l'idée d'énumération, intrinsèquement liée à celle de suite.

      L'idée que les termes "se rapprochent" de la limite n'est pas une invention arbitraire,
      elle est liée au fait que les termes d'une suite sont donnés naturellement l'un après l'autre.

      On peut regarder "en bloc" l'ensemble des valeurs prises, mais ça vient après, il me semble.

      Il existe des suites définies par récurrence pour lesquelles on ne sait pas dire grand chose a priori
      de l'ensemble des valeurs prises, ou dont l'aspect "construction pas à pas est" prépondérant.

      Par exemple, l'algorithme de Kaprekar. L'aspect "cinématique" me paraît alors assez naturel.
      --
      Jean-Luc Giaco

      Supprimer
    2. Jean-Luc Giaco a écrit :
      --- Citation ---
      Philippe Colliard a écrit :
      --- Citation ---
      "Considérez un segment, [AB], et la suite de points déterminés par
      milieux successifs : M1, milieu de [AB], M2, milieu de [MB], etc."

      Jean-Luc Giaco a répondu :

      C'est un bon exemple. Effectivement, on n'est pas obligé de voir du mouvement là-dedans.
      Pourtant, il y a bien une construction "pas à pas", ou "par récurrence", et tu n'y échappes pas,
      quand tu emploies le mot "successifs".

      Je construis donc cette suite de points successifs, et en la construisant, je vois quoi ?
      Eh oui... les points sont de plus en plus près de B.

      On peut décider d'arriver "après" que les points soient tous construits et regarder la densité de lumière.
      Mais est-ce plus simple ou plus naturel ? Je n'en suis pas sûr.

      Citation
      Philippe Colliard a écrit :

      "Dès qu'on dispose d'une métrique, la limite d'une suite me paraît
      visuellement simple : un point (ou un nombre...) est limite d'une suite
      équivaut à : quelle que soit la boule centrée en ce point (nombre), elle
      contient "presque" tous les éléments de la suite !"

      Jean-Luc Giaco a répondu :
      C'est une bonne définition, mais j'aurai quelques remarques.

      1) Visuellement simple, c'est très subjectif.
      Je pourrais faire l'hypothèse que c'est simple pour toi, parce que tu as bien assimilé l'idée.

      Mais l'illustration du programme de TS, avec les tubes, et la phrase "à partir d'un certain rang,
      tous les termes sont dans le tube", en quoi est-elle visuellement moins simple ?

      2) Si la suite est stationnaire, les valeurs prises sont en nombre fini.
      Il va bien falloir que tu expliques que la limite ne compte pas pour une seule valeur,
      parce qu'elle est répétée une infinité de fois. Et tu es obligé de revenir aux indices et à l'énumération.

      3) La densité des valeurs prises ne s'adapte pas bien à la limite d'une fonction réelle.
      C'est dans ce cas qu'on peut plus facilement parler d'interprétation cinématique.

      Prenons les deux énoncés :

      "f a pour limite b signifie : quand x devient infiniment proche de a, f(x) devient infiniment proche de b."

      "f a pour limite b signifie : f(x) peut être rendu arbitrairement proche de b, à condition de prendre x suffisamment proche de a."

      L'un est cinématique, l'autre est statique, mais à mon goût, les deux sont aussi (ou aussi peu) valables.
      Et il me semble même qu'il y a une idée de mouvement dans le deuxième (prendre x suffisamment proche de a,
      c'est le rapprocher de a) et une idée de distance statique dans le premier
      (x devient infiniment proche de a s'il entre dans n'importe quelle boule ouverte de centre a.)
      Donc, pour moi... kif kif...

      Pour le fait parler de tangente comme position limite d'une suite de cordes,
      c'est vrai que c'est un peu un abus de langage, mais c'est exactement ce que propose J. P. G.
      (difficile d'être en désaccord) : on donne d'abord du sens, quitte à être approximatif, puis,
      une fois que les élèves ont une représentation assez solide, on donne (éventuellement) une définition rigoureuse.

      Reste qu'on pourrait très bien donner une définition rigoureuse de limite d'une suite de droites, par exemple,
      Dn tend vers D si en choisissant deux points A et B sur D, et r aussi petit qu'on veut, les deux boules ouvertes (A;r)
      et (B;r) contiennent chacune un point de Dn pour n assez grand.

      Ça doit marcher. Est-ce que c'est pédagogique, certainement non, mais c'est une autre histoire.
      --
      Jean-Luc Giaco

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    3. Denis Chadebec a écrit :
      --- Citation ---
      Pour le fait parler de tangente comme position limite d'une suite de cordes [...] on donne d'abord du sens,
      quitte à être approximatif, puis, une fois que les élèves ont une représentation assez solide, on donne
      (éventuellement) une définition rigoureuse.

      Cette approche de la dérivée est source de nombreuses demandes d'aide d'élèves en première.
      L'approche classique - la position limite d'une sécante quand un des points de contact se rapproche de
      l'autre - laisse perplexe une minorité conséquente de "décrocheurs". En effet, pour eux, trois faits les troublent.

      1- Ils savent que par deux points passe une droite unique.
      2- Ils savent aussi que par un point passent autant de droites qu'on veut, c'est-à-dire une infinité.
      3- Le quotient zéro / zéro est défini comme solution de l'équation 0 x = 0 alors que l'ensemble de
      ces solutions est R tout entier.

      Certes, ils savent se servir du tableau des dérivées parce que l'analyse permet de démontrer
      formules algébriques à l'appui que la limite de f(x + h) - f(x) divisé par h existe et est unique.

      Mais ces élèves souffrent de la liaison psychologique entre ce fait et sa démonstration par des
      formules précises au point qu'ils ont le réflexe "pas de formule donc pas de fonction donc pas de dérivée".

      Or, historiquement parlant, les intellectuels du moyen-âge au XVIIe siècle ont commencé la conceptualisation
      du calcul différentiel et intégral par les primitives et non par les dérivées. En effet, si on représente une fonction
      f(x) non pas par une ordonnée en fonction d'une abscisse (Bradwardine, Oresme), mais par l'aire délimitée par
      l'axe des abscisses, deux parallèles à l'axe des ordonnées (le repérage du plan étant bien entendu orthonormé)
      et un segment de courbe, alors f(x) est de toute évidence dérivable, la dérivée étant une nouvelle fonction
      représentée par l'ordonnée en fonction de l'abscisse en suivant la courbe.
      --
      Denis Chadebec

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    4. Denis Chadebec a écrit :
      --- Citation ---
      J'insiste sur le "de toute évidence" : la figure permet le tracé de deux rectangles dont les aires encadrent celle de la variation de f(x) entre deux abscisses a et b distants de delta x :
      min f '(x) * delta x < delta f < max f '(x) * delta x,
      parce qu'on peut diviser une inégalité par un nombre strictement positif
      min f '(x) <= delta f / delta x <= max f '(x),
      et alors le passage à la limite donne
      f '(x) <= limite de delta f / delta x <= f '(x),
      donc
      limite de delta f / delta x = f '(x).

      L'essentiel est la conviction des élèves, même si la rigueur mathématique n'est pas entièrement respectée.
      Ce que j'ai constaté en général est l'analogie dans bien des domaines scientifiques entre les recherches des
      pionniers des sciences et les difficultés de compréhension des élèves d'où chez moi de nombreux changement
      de processus pédagogiques tout au long de ma carrière.

      En particulier, l'incertitude psychologique sur la dérivée des "décrocheurs" est levée. Ensuite, en soutien scolaire,
      je n'ajoute jamais de nouveaux exercices à ceux donnés par leur professeur de leur lycée. Il est suffisant de les
      laisser revenir spontanément sur ceux-là pour constater leur "guérison". Je le sais parce que les élèves ne me
      demande plus de nouvelle aide sur le sujet.

      L'autre information que les élèves m'ont apportée concerne le rôle que peut jouer l'équation de la tangente.
      Un rôle psychologique et un rôle technique.

      1- Le rôle psychologique. Là, la courbe de la nouvelle figure représente f(x) et non plus f '(x). On commence par
      l'équation de la sécante démontrée par la géométrie basée sur les proportions de Thalès avec usage du tableau
      de proportion entre h, f(x + h) - f(x), dx (aussi grand qu'on veut) et y - f(x) (en suivant la sécante) : cela donne une formule
      y - f(x) = [f(x + h) - f(x) divisé par h] dx.
      2- Après passage à la limite on obtient avec certitude psychologique une unique équation de droite
      y - f(x) renommée df = f '(x) dx
      donc une unique position limite, celle de la tangente. L'incertitude liée aux deux axiomes "par deux points passe une droite
      unique" et " par un point passent autant de droites qu'on veut" est levée.

      2- Le rôle technique : l'orientation de la tangente donne sans commentaire le sens local de variation de la fonction.
      --
      Denis Chadebec

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    5. Rudolf Bkouche a écrit :
      --- Citation ---
      La difficulté de la notion de tangente est mathématique et non pédagogique.
      Peut-être faut-il donner quelques exemples, que ce soit la tangente au cercle ou la tangente en un point de la parabole d'équation y = x^2.

      Quant à 0/0, c'est une forme indéterminée que l'on peut commencer à étudier à partir de quelques exemples,
      par exemple la limite pour x tendant vers l'infini de (ax+b)/(cx+d). Une façon aussi de mettre l'accent sur la notion de limite et des difficultés qu'elle pose.

      Il ne faut pas oublier que la plus belle découverte du calcul infinitésimal est la relation entre ces deux problèmes a priori sans relation :
      calcul d'aires et calcul de tangentes. Peut-être est-ce un pont à mettre en évidence dans l'enseignement de l'analyse.
      --
      Rudolf Bkouche

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