Limite, continuité(s)... Les boules !

Ceux d'entre vous qui ont lu «... Donc, d'après... » le savent déjà : s'astreindre à n'observer que dans une droite ou dans un plan ce que nous, êtres humains, sommes équipés pour observer dans un espace de dimension trois ne me semble pas être une nécessité pédagogique. L'élément dans lequel nous nageons est « l'espace » : le concept de plan et celui de droite ne nous sont nullement familiers. C'est dans cet esprit que j'ai introduit et étudié les symétries planes à partir des symétries dans l'espace... Dont l'observation ne s'est pas montrée particulièrement ardue !

Dans le même esprit, il me semble possible d'aborder les notions de limite, de complétude et de continuité (simple ou uniforme) sans étriquer notre champ de vision - et sans s'encombrer de lettres grecques !

Les points de départ ?

D'une part, notre espace et sa métrique « naturelle », tels que nous les percevons - et que ces notions, une fois acquises, nous permettront d'approfondir.

D'autre part, des « boules d'espace »... Ce qu'en géométrie, on appelle tout naturellement des « boules » : l'ensemble des points de l'espace enfermés dans une sphère. En décidant ici que les boules que nous observerons seront « écorchées » (strictement l'intérieur d'une sphère) et non-dégénérées : leurs frontières ne seront pas des sphères réduites à un point (des sphères à rayon nul).

Enfin, accepter de porter un double regard sur les points de notre espace… Tout comme, dans un article précédent, j’avais porté un double regard sur les entiers naturels (vision usuelle, vision « spectrale ». L’article est ici :

 http://mathemagique-com.blogspot.fr/2014/09/pgdc-2-nombres-et-spectres.html )

De quel double regard s’agit-il cette fois-ci ?

Du « regard algébrique » ou du « regard topologique ».

Le « regard algébrique » se focalise sur un point, qu'il observe en toute indiscrétion !

Le « regard topologique » évite soigneusement de se porter sur un point - pour ne pas le gêner, pour ne pas donner l'impression de l'observer ? - mais il observe très soigneusement un voisinage de ce point... Et il en infère ce que devrait être le comportement de ce point pour ne pas trancher sur son voisinage. Dis-moi qui tu fréquentes je te dirai qui tu es - ou qui tu devrais être ! 

Le but ?

Tenter une approche presque strictement visuelle des rudiments de l'analyse.

... Mais en deux parties : dire que R (ou Rⁿ) est continu n'a pas le même sens que dire "la fonction f est continue".

Dans le 1er cas, on s'intéresse à un espace dans lequel les suites de Cauchy convergent : un espace complet ;

dans le second, on s'intéresse aux convergences des "suites-images" (par f) de suites convergentes sur R.

Selon les besoins, j'observerai soit des boules « ancrées », définies par un centre et un rayon, soit des boules « vagabondes », uniquement définies par un diamètre.

Oui, bien sûr, un rayon permet de déterminer un diamètre, et réciproquement... Mais tout est dans le regard, dans l'utilisation : ce n'est pas par hasard que les deux ont un nom !

Et comme ceci est un article de blog, pas un cours de maths... Il n'y aura pas de dessins :)

mais rien ne vous empêche, évidemment, de dénicher quelque part une feuille de papier, un crayon, et d'en faire, vous, des dessins !

Et maintenant, quelques définitions nécessaires… Ensuite, à vos crayons !  

Première partie : Rⁿ est continu (au sens de « a la puissance du continu »)

Je me contenterai de n = 3 ; j'appelle E l'ensemble des points de notre espace.

Suite de points de E : une application de N vers E. Chaque point de la suite est donc image d’au moins un entier.

Ou, plus simplement : je choisis des points de E - ceux qu'il me plaît de choisir - et je les numérote : point numéro 0, point numéro 1, point numéro 2... En imaginant que j'y passe ma vie, et que je suis immortel !

Indice d’un point (d’une suite de points de E) : un entier dont ce point est l’image. (Le « numéro » du point. Cet entier indique – ou indexe – le point !)

Terme ou Point indexé (d’une suite de points de E) : le couple formé d’un point et d’un entier dont il est l’image.

Au lieu d'écrire, par exemple, (P,5) et de parler de la première ou de la deuxième place du couple, il est d'usage dans les suites d'écrire P₅ et de parler du point ou de l'indice du point indexé.

Si un même point P a plusieurs indices, par exemple 5, 12 et 23, il lui correspond plusieurs points indexés de la suite (ici :  P₅ , P₁₂  et  P₂₃), puisque deux couples sont différents si l’une de leurs places place diffère :)

L'ensemble des points indexés est totalement ordonné (d'après l'ordre canonique sur N), et il est courant d'écrire les points indexés d'une suite suivant cet ordre - et de parler des

« premiers points indexés de la suite », puis, par abus de langage, des « premiers points de la suite ».

« Terme » est plus général, et donc bien plus usité que « point indexé » (bien souvent, une suite porte sur autre chose que des points !)... Mais ici, j'observe notre espace de points, donc ce sera « point indexé » :)

Rang d'un point indexé : son indice ou, s'il en a plusieurs, l'un de ses indices - pas nécessairement le plus petit !

Suite stationnaire : telle qu’à partir d'un certain rang, tous les entiers suivants indiquent le même point.

« Presque tous les points indexés de la suite » : tous les points indexés de la suite, à l'exception d'un nombre fini d'entre eux.

Ou encore : tous les points indexés de la suite, à partir d'un certain rang.

(le point) A est limite de la suite : quelle que soit la boule centrée en A que j'observe, elle contient « presque tous les points indexés de la suite ».

Ici, «quelle que soit la boule...» est un raccourci pour «quel que soit le rayon de la boule...»

La suite converge en A :  (le point) A est limite de la suite. :)

La suite converge (sous-entendu en un point de notre espace) : il y a un point de notre espace qui est limite de la suite (je n'ai juste pas précisé lequel !)

 A, B, C … sont des points d'accumulation de la suite : quelle que soit la boule centrée en A (ou B, ou C …) que j'observe, elle contient une infinité de points indexés de la suite - mais rien ne dit qu'elle n'en laisse pas non plus échapper une infinité !   (Si une suite converge, son point-limite est son seul point d'accumulation)

Suite dite « de Cauchy » : suite telle que, quel que soit le diamètre que je choisis, il existe un rang après lequel toute paire de points indexés de cette suite est prisonnière d’une boule de ce diamètre.

(après lequel… Donc d’indices supérieurs à ce rang)

Notre espace est complet : toute suite de Cauchy y converge.

Deuxième partie : continuité d'une fonction numérique réelle en un point - ou sur un intervalle :

Boules de R :

                f étant une fonction numérique réelle, a et b étant des réels quelconques,

« rayon » et « diamètre » caractérisant des réels strictement positifs :

     boule centrée en a, de rayon r : intervalle ouvert ] a – r ; a + r [  (centre est pris au sens de la symétrie centrale !)

     boule de diamètre d : intervalle ouvert ] a , b [  tel que la distance entre a et b soit  d

Image par f d’une boule : ensemble des images par f des éléments de la boule (et non, ce n’est pas nécessairement une boule ! J )

f est continue en a : f(a) existe et, quelle que soit la boule B centrée en f(a), il existe une boule centrée en a dont l'image est incluse dans B.

(Rapidement : l'image algébrique de a et son image topologique doivent exister toutes les deux... Et être la même !)

f est continue sur un intervalle de R : f est continue en tout point de cet intervalle.

(Lorsqu'une fonction numérique réelle est continue sur un intervalle de R, l'image de cet intervalle par cette fonction est encore un intervalle... Et le graphe de la fonction est une partie complète de R² : en bref, on peut le représenter par une « ligne continue traçable » !)

f est uniformément continue sur un intervalle de R :

quel que soit le diamètre d1 choisi, il existe un diamètre d2 tel que, quelle que soit la position d'une boule de ce diamètre d2 à l’intérieur de l'intervalle observé, l'image par f de cette boule est incluse dans une boule de diamètre d1.

(A l’intérieur de l’intervalle observé : aucun des nombres de la boule ne « sort » de l’intervalle !)

Merci encore de suivre ce blog, et ... A bientôt ?

Philippe Colliard

P.S. : bizarrement, de nombreux commentaires ont été rédigés AVANT cet article... C'est le monde à l'envers ! Mais en réalité, il s'agit de commentaires portant sur une sorte d'ébauche rapide de l'article, postée quelques jours plus tôt dans « mathlyc », une liste que j'apprécie beaucoup.