dimanche 30 novembre 2014

Proportionnalité : la grande illusion !

Il me semble surprenant de vouloir introduire la proportionnalité au collège en s'appuyant sur le commerce… Ou sur la nature !

Le commerce, d'abord, en quelques mots :

d'une part, lorsque le prix d'une marchandise n'est pas réglementé, la proportionnalité est à l'encontre du principe même du commerce - principe qui consiste à moduler les prix en fonction de la quantité.
(Et, si je puis me permettre une remarque polémique, principe dont le but n'est pas nécessairement d'avantager le client potentiel : Réduire à une question de prix l'intérêt d'acheter 1,2 kilos de confiture au lieu de 400 g escamote la possibilité que ladite confiture moisisse... Ou qu'on s'en empiffre déraisonnablement !)

D'autre part, s'intéresser au prix d'un produit donné imposerait rapidement de s'intéresser à la qualité de ce produit et, pour prendre tout son sens, à ses coûts de fabrication (humain, écologique, économique...) - ainsi qu'aux différents acteurs de sa distribution, de leurs moyens et de leurs motivations !

Un programme passionnant, mais un programme quelque peu... Hors programme !

La nature, ensuite :

la proportionnalité n'est pas naturelle, au sens le plus primaire du terme.

Dans l'univers du vivant, l'univers « physiologique », la proportionnalité n'existe simplement pas !

Un bébé d'un mois est-il deux fois plus grand, plus lourd... Voire plus sage (?) qu'un bébé de 15 jours ?
La croissance des feuilles est-elle proportionnelle au temps ?
La force d'un animal est-elle proportionnelle à sa masse ? Et sa longévité ?
Un randonneur qui parcourt 5 km en une heure va-t-il vraiment parcourir 100 km en vingt heures ?

Cherchez : y a-t-il un domaine du vivant ou la proportionnalité s'applique ?
Pour ma part, je n'en ai pas trouvé.

Et dans l'univers « physique » de notre planète ?

             Un terrain est-il deux fois plus humide en profondeur lorsqu'il pleut deux fois plus ?

             La pression subie par un corps immergé à 30 m est-elle trois fois plus grande que celle subie par un corps immergé à 10 m ?

             Si un roc de 10 kg glisse sur la voûte d'une caverne, quelque part à la surface de la Terre, cette voûte supporte un poids d'environ 100 N. Si cinq rocs de 10 kilos glissent sur la voûte de la caverne, cette voûte supporte 500 N.
Si cent rocs etc.  … La voûte s'effondre !

Mes exemples sont évidemment discutables, et de nombreuses lois physiques, de nombreuses applications technologiques expriment une proportionnalité.

Le lien entre distance, vitesse et durée, par exemple.
Mais ce modèle de proportionnalité - un des piliers de la physique classique - explose en physique quantique !

L'agrandissement d'une photo, alors ? Si chaque pixel d'une photo numérique est simplement « grossi », l'ensemble devient très rapidement flou, voire indéchiffrable. Si l'agrandissement est le résultat d'un traitement par un logiciel, le résultat sera satisfaisant plus longtemps... Mais essayez d'agrandir 10000 fois l’une de vos photos :) !

Non, la proportionnalité n'est pas « naturelle » !
Est-ce une raison pour la jeter aux orties ?

Certainement pas. Mais peut-être pour la recadrer : pour lui donner une place non pas dans le domaine du commerce, de la biologie ou de la matière, mais dans celui du raisonnement - qui est également celui de l'imaginaire.

La proportionnalité est un modèle - ou plus exactement, une idéalisation.

Aucune pierre, petite ou grosse, n’a une masse d’exactement 10 kg - où, plus justement, il nous est impossible d'affirmer qu’un pierre donnée a exactement cette masse... Mais rien ne nous empêche d'imaginer une telle pierre.
Tout comme nous savons qu'aucune voûte de caverne n'est infiniment résistante... Mais rien ne nous empêche de l'imaginer.
Aucune photo n'a une définition « continue »... Mais rien ne nous empêche d'imaginer cette photo idéale. Puis de constater que dans des limites raisonnables, quelque chose qui ressemble à une proportionnalité semble s'appliquer.

Des limites raisonnables : un empilement raisonnable de pierres sur une voûte, un agrandissement raisonnable d'une photo... Des mesures raisonnablement (im)précises !

La proportionnalité me semble être à la fois une simplification de notre environnement physique mais également une idéalisation de celui-ci. Et les deux ont leur utilité... Dans des limites raisonnables :)

Le vrai terrain de jeu de la proportionnalité : les mathématiques !

Si notre univers était « parfait », si chacun de ses éléments avait des mesures exactement définies, si nos instruments (eux-mêmes parfaits) nous en permettaient une détermination exacte... Alors oui, nous pourrions y chercher des proportionnalités autres que statistiques. En trouverions-nous ? Je n'en sais rien :)

Ce que je sais, ce que nous savons tous, c'est qu'il existe une science de « l’idéal » - et de l'imaginaire :) . En mathématiques, les nombres sont « exacts », les lignes sont continues et peuvent être illimitées, tout comme les surfaces ou les solides. Alors, autant les utiliser !

Au collège, plutôt que de chercher à convaincre mes élèves de l'omniprésence de la proportionnalité, j'ai toujours fondé mes premiers exemples sur des cas de disproportion...
Puis mon cours sur des tableaux de proportionnalité – ou non, déconnectés de la « réalité », et sur lesquels je pouvais raisonner. Allez savoir pourquoi, mes élèves s'y retrouvaient très bien :)

Vous trouverez, si vous le souhaitez, les feuilles de ce cours en cliquant sur ce lien... Et bien entendu, elle sont à votre disposition, sous licence « Creative Commons ». J'y parle évidemment des produits en croix, j'en utilise l'égalité (« vérifiée » en classe) mais ce n'est qu'en quatrième que je la démontre.

                               Et là, permettez-moi de vous renvoyer à cet autre article :)

Merci de votre attention, de votre fidélité à ce blog, et, je l'espère, à bientôt !

Philippe Colliard

6 commentaires:

  1. Le Bateleur a écrit :

    --- Citation ---
    Merci pour cette page qui donne substance et réflexion au sujet.

    La proportionnalité peut être discutée lorsque
    ...
    on a décidé de la définition d'une unité de mesure ce qui suppose plusieurs points d'appui.

    Donc elle se trouve dans la nature ... quand on la tord un peu (sourire)²²
    et le mathématicien et le physicien
    ont les moyens de la contorsionner.

    Une expérience intéressante faite en classe de quatrième (en physique)
    est la mesure de la tension lorsqu'on fait varier l'intensité du courant dans une résistance.
    ...
    Oh merveille ! On obtient sur le graphique a des koat une ligne droite
    (surtout chez les élèves qui ont anticipé le résultat ou corrigé les imperfections des mesures réelles)

    Avec un peu de recul
    c'est-à-dire si on se demande quelle est la définition de l'ohm
    qu'on s'intéresse à la manière dont une conférence mondiale de physiciens en a accouché
    on s'aperçoit que cette proportionnalité est non pas "naturelle" (aux sens pleins du terme)
    mais normale (idem)
    l'ohm a été défini pour que cette relation soit vérifiée.

    C'est un peu la même chose dans beaucoup de domaines.

    Pour la croissance ou la cicatrisation des plaies
    il suffit de bien choisir le terme de départ une échelle de temps logarithmique par exemple
    et on a quelque chose qui ressemble à la proportionnalité.

    C'est le scientifique qui redresse les courbes (des morceaux au moins) pour en faire des droites

    Le rapport n'est pas dans la nature
    il est le résultat d'un travail
    --
    Luc Comeau-Montasse
    pensée par et fraction

    (à ce propos lire "la structure absolue" de Raymond Abélio (ancien X et Pont et Chaussée)
    --- Fin de citation ---

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  2. M. S. a écrit :
    --- Citation ---
    Le 30/11/2014 18:31, Philippe Colliard a écrit :

    > peut-être aurez-vous le temps de jeter un coup d’œil sur cet article...

    Oui, assez rapidement toutefois… Je suis d'accord. Au lieu d'idée, je te
    propose modèle.

    En physique, la plupart du temps, le modèle ne fonctionne que localement
    ou en 1ère approximation. Par exemple, lors des 1ères expériences de
    relevés des températures en fonction de l'altitude (fait avec des
    montgolfières à l'époque), on avait trouvé une relation de
    proportionnalité puis plus tard, on s'est rendu compte que en allant
    plus haut que ce modèle ne fonctionnait pas, et même on a eu des
    surprises… C'est une des activités que je propose à mes 3èmes lors de
    l'approche fonction et graphique.

    On retrouve cette notion de modèle aussi en ce qui concerne les probas.
    Comprendre que les probas en maths ne proposent que des modèles est un
    objectif à ne pas négliger au niveau du collège : je ne sais pas si le
    programme mentionne cela mais c'est indispensable pour comprendre la
    notion d'expérience aléatoire.

    Cordialement,
    --
    M. S.
    --- Fin de citation ---

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    1. Rudolf Bkouche a écrit :
      --- Citation ---
      Comme toute idéalité mathématique, le proportionnalité est une construction humaine, mais une construction humaine se construit à partir de problèmes.

      Parmi ces problèmes, le mouvement uniforme tel qu'on ne le trouve par exemple dans Le Spirales d'Archimède, et les questions de proportionnalité géométrique telle qu'on les trouve chez Euclide et qui est au fondement des mathématiques grecques.

      Est-ce que la proportionnalité est dans la nature ? Pas plus que les mathématiques. Les mathématiques permettent de représenter des phénomènes de la nature, cela suffit et pas la peine d'en dire plus.

      La question la plus intéressante est bien la façon dont les mathématiques permettent d'étudier la nature. Je renvoie à l'article de Wiener "The unreasonable effectiveness of mathematics in natural sciences".

      Cette intervention des mathématiques dans les sciences de la nature doit être présente dans l'enseignement, non pas comme application des mathématiques mais comme faisant partie des mathématiques. Et cela commence avec la géométrie élémentaire.
      --
      Rudolf Bkouche
      --- Fin de citation ---

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    2. Michel Delord a écrit :
      --- Citation ---
      Wigner, en français ici :
      http://www.eleves.ens.fr/home/bienvenu/hps/wigner_dissert.pdf
      --
      Michel Delord
      --- Fin de citation ---

      Supprimer
  3. Philippe Colliard a écrit :
    --- Citation ---
    Bonsoir M. S.,

    > M. S. wrote :
    > ...
    > > article
    > Oui, assez rapidement toutefois… Je suis d'accord. Au lieu d'idée,
    > je te propose modèle.
    > ...

    Adopté, et merci :)
    --
    Philippe Colliard

    (Merci également à Luc pour son appréciation !)
    --- Fin de citation ---

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  4. Rudolf Bkouche a écrit :
    --- Citation ---
    Lire Wigner et non Wiener
    --
    Rudolf Bkouche
    --- Fin de citation ---

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