Spécial profs : une plongée sous le théorème de Pythagore

... A la découverte de la structure qui le porte.

Mon but n'est pas ici de démontrer le théorème de Pythagore, mais de le démonter... Ou, si vous le préférez, de le déconstruire, de le détricoter : de redescendre aux quatre théorèmes dont il est directement issu, puis aux théorèmes dont ces quatre-là sont, à leur tour, issus, etc.

Jusqu'à atteindre les axiomes... Ou plus exactement, ici, les « métaxiomes », puisque l'architecture que je déconstruis est celle de l'axiomatique simplifiée du livre «.. Donc, d'après...»

Pourquoi ce jeu de déconstruction ?

Peut-être pour rappeler qu'un théorème ne vient pas du néant, qu'il a sa place dans une arborescence... Tout comme chacun de nos cours a sa place dans la progression que nous concevons pour chaque nouvelle rentrée.

Et peut-être parce qu’une meilleure vision de cette arborescence pourrait nous aider à mieux concevoir ladite progression !

Bien évidemment, cela ne veut absolument pas dire que, pour bien enseigner au collège, nous devrions parfaitement maîtriser l'arborescence des 205 théorèmes que j'ai démontrés dans le livre : l'architecture du théorème de Pythagore - qui ne met en scène que 30 théorèmes - m'a occupé pendant presque une semaine... Et je ne suis pas du tout certain de pouvoir un jour vous présenter l'arborescence générale : elle apparaît évidemment en creux dans le livre, mais je n'ai jamais tenté de la dessiner.

En revanche, il me semble qu'avoir en tête une idée approximative de l'axiomatique qui sous-tend la géométrie que nous enseignons ne peut qu'être bénéfique. Tout comme il peut nous être utile de maîtriser la démonstration d'un certain nombre de théorèmes que nous ne ferons pourtant que citer en classe, sans jamais les y démontrer !

(Un certain nombre : pour ma part, j'ai bien peur d'être incapable de retrouver de mémoire les démonstrations de la majorité des 205 théorèmes du livre... Et pourtant, je les ai bien rédigées !)

Les numéros que j'utilise pour les théorèmes et les métaxiomes, dans l'architecture de la page suivante, sont ceux que je leur ai attribués dans le livre : pour qu'il ne vous soit pas nécessaire de le consulter, je les ai « copiés - collés » sur deux pages, à la suite de l'architecture. Et non, je ne suis tout de même pas allé jusqu'à « copier - coller » également leurs démonstrations !

Les pages sont ici :  ébauches: servez-vous , puis :  "architecture du théorème de Pythagore"

J'en profite pour vous rappeler l'existence d’un feuillet de quatre pages, listant les principaux théorèmes du livre, également publié sous licence « Creative Commons », et que vous pouvez distribuer à vos élèves de troisième (voire de quatrième). 
Vous le trouverez sur "Donc, d'après : compléments" , en cliquant sur « côté profs : servez-vous »… ou en(re)lisant l'article que je lui ai consacré, ici :

http://mathemagique-com.blogspot.fr/2014/02/special-profs-petit-memento-des.html .

Merci de l'intérêt que vous portez à mon travail. N'hésitez pas à intervenir !

A bientôt ?

Philippe Colliard

P.S. :       pour que l'architecture soit complète, j'aurais dû y faire figurer les définitions invoquées par les théorèmes et les métaxiomes concernés... Mais là, ça devenait vraiment illisible !

La symétrie centrale

La symétrie centrale est, à mon sens, l'un des... Centres du programme de géométrie de cinquième.

Je voudrais lui consacrer le premier article de cette rentrée 2014 pour au moins deux raisons :

d'une part, plusieurs collègues semblent vouloir s'y atteler très rapidement et ont récemment lancé un appel à toutes les bonnes volontés pour leur fournir des éclairages différents sur cette symétrie centrale. Alors, pourquoi pas cet éclairage-ci ?

D'autre part, à la suite d'un de mes articles précédents, dans lequel des élèves de quatrième parlaient de « ma méthode », d'autres collègues m'ont demandé de quoi il retournait.

Bon, ceux-là, je vais les décevoir : je ne crois vraiment pas avoir de méthode particulière. J'essaie simplement de communiquer mon plaisir à discuter de choses que je connais. J'y reviendrai peut-être dans un autre article.

Mais pour ne pas les décevoir totalement, voici un court extrait (enfin, quelques pages, tout de même) d'un livre qui m'avait été « commandé » en 2007 par un directeur de collection du « Cherche-Midi »... Qui l'a, ensuite, refusé, parce qu'il n'était pas assez polémique.Il avait raison, bien sûr : la polémique, ce n'est pas mon truc !

Cet extrait dissèque une approche de la symétrie centrale en cinquième - et, dans la foulée, exprime quelques-unes de mes idées sur l'enseignement. Permettez-moi d'insister : il ne s'agit que d'une approche parmi d'autres, et « mes » idées sont vraisemblablement celles de nombreux professeurs...

L'extrait est ici (il est, comme d'habitude sous licence "creative commons") :

    2007 - extrait : la symétrie centrale

Toutefois, pour lui donner un support, je vous suggère de lire en parallèle l'introduction de la symétrie centrale dans «… Donc, d'après... »,  en cliquant sur « ... Donc, d'après, extraits », puis sur "Partie 2 : la boîte à outils, premier coffret , Symétrie centrale", (p. 90 et suivantes)...

... et si vous le souhaitez, de lire, de télécharger, de modifier et d'utiliser mes feuilles de cours sur ce thème, en cliquant sur « ébauches, servez-vous »  puis sur "symétrie centrale en 5ème".

Voilà. Bonne rentrée à tous. Une rentrée qui me manque déjà. Mais on ne peut pas à la fois être et avoir été.

Philippe Colliard

Derniers jours...

… Dernières impressions.

Ensuite, promis, je tourne la page : les prochains articles porteront sur les maths !

Je n'aime pas particulièrement « partir à la retraite » - je n'aime déjà pas particulièrement les longues vacances, alors...

Mais je m'y ferai, bien sûr.

Là, je voudrais juste revivre deux beaux moments...

Et très rapidement un troisième, plus mitigé.

Mardi 24 juin, tout d'abord.

À 10 heures, mon dernier cours avec les troisièmes... Et un élève, un seul élève, « rangé » dans le couloir, devant l'entrée de ma salle. Le cœur un peu gros, je lui dis tout de même de  rentrer ; je laisse évidemment la porte ouverte, dans l'attente (l’espoir ?) d'éventuels retardataires.

Yan Wu s'assied au premier rang, me dit qu'il aimerait revenir sur les fonctions affines. Pourquoi pas ? Je lui demande de m'attendre, je prends le risque très mesuré de le laisser deux minutes seul – il n'a vraiment rien d'un dangereux agitateur – pour aller lui imprimer quelques pages.

Mais en revenant vers la salle, j'entends la CPE crier : « Monsieur Colliard, vite ! Il y a un problème avec Yan Wu ».

Coup de panique, évidemment. Catherine, la  CPE, ne m'appelle « Monsieur Colliard » que dans les instants graves. Je me précipite. Elle est là, devant la porte, l'air inquiet.

Mais Yan Wu me semble tout à fait normal ! Je lui demande ce qu'il y a, il commence à me dire quelque chose comme « à propos des fonctions affines... », de soulagement, je suis presque désagréable... 

Et là, toute la classe déboule dans mon dos, avec ses autres profs, m’entoure, me brandit un T-shirt blanc surchargé de signatures et de commentaires, et commence à me chanter une chanson idiote !

Une très belle dernière heure de cours (mais nous n'avons pas beaucoup parlé des fonctions affines).

Mercredi 2 juillet, ensuite.

Le déjeuner de fin d'année, offert par l'amicale du collège et traditionnellement précédé des cadeaux aux nouveaux parents et des adieux aux stagiaires et aux partants.

Les partants, il y en avait 5. Trois agent(e)s de service – Christine, Rakya et Serge –  Et deux profs : Morgane, qui « mutait » ... Et moi, qui faisais un peu plus que muter.

Ça a commencé plutôt fort : Christine pleurait et Morgane – l’une des profs les plus aimé(e)s du collège – serrait les dents pour ne pas l’imiter.

Puis mon tour est venu. Alain, le principal – et un ami ! – m'a exécuté dans un discours de trois pages.

Ensuite, ils s'y sont tous mis : dans une sorte de chorale semi-improvisée (et horriblement discordante), j'ai eu droit à une chansonnette tendrement kitsch, à un slogan fièrement arboré, au premier rang, par trois complices, à quelques perruques aux longs cheveux argentés, supposées rappeler ma crinière...

Et même, porté par Catherine (oui, la CPE), à un T-shirt imprimé «… Donc, d’après… ».

              

… Et oui, j’ai également serré les dents …

Et le troisième moment ?

La « réception du corps enseignant » à la mairie de Courbevoie :

une centaine de personnes, sagement assises, écoutent le discours de l'adjoint à l’enseignement, puis du maire. Puis, rapidement, la remise des médailles de la ville à une dizaine de partants. Dont deux « médailles d'or » : la première pour une inspectrice du primaire; la deuxième pour moi – ou, plus exactement, pour mes 39 ans de présence à Courbevoie – accompagnée de mots très gentils de l'adjoint à l'enseignement.

"Ma" médaille est également accompagnée d'un petit carton qui vante sa qualité... Et d'une étiquette, marquée à mon nom et scotchée au verso.

Courbevoie n'aurait donc pas les moyens de faire graver ses médailles ?

        

Non, je ne veux pas finir là-dessus.

Alors une pensée reconnaissante pour les représentants des deux fédérations de parents d'élèves qui, au dernier C.A., m'ont offert un excellent whisky.

Qu’ils en soient ici remerciés… A votre santé, à tou(te)s !

Séquence émotion : une quatrième B magique !

Là, vous m'avez eu !

En entrant en classe, Lucas

- ou est-ce Joey ? - m'a tendu une enveloppe marron d'apparence très administrative :

« vous avez du courrier M’sieur »... Avec, tout de même, un petit sourire.

Vous vous êtes installés, peut-être un peu plus silencieux que d'habitude. J'ai posé l'enveloppe sur le bureau, sans trop m'y intéresser, je n'avais pas compris.

Comme d'habitude, j'ai noté les absents sur l'ordinateur, comme d'habitude vous avez tous sorti un bloc et un stylo

(oui, « et rien d'autre ! »).

Puis j'ai ouvert cette enveloppe. J'ai lu. En silence. Un vrai silence : vous me regardiez, et moi, je ne pouvais pas parler.

Ce n'est pas que vous ayez écrit de grandes phrases, ni qu'il soit bien original que des élèves disent adieu à leur prof.

Non. C'était toute l'atmosphère. L'intensité de votre silence, le travail de composition de ce petit livret, ce que vous écriviez.

J'avais envie de pleurer... Mais ça ne se fait pas, n'est-ce pas ?

Pendant plusieurs minutes, j'ai marché de long en large, devant vous. Je ne pouvais toujours pas parler, et vous le saviez.

Puis ma voix est revenue… Plus ou moins. Je vous ai remerciés, bien sûr. Je vous ai dit - et c'était vrai - que vous alliez me manquer. Vous avez applaudi. Longuement, peut-être pour me laisser le temps de me reprendre. Je vous ai demandé l’autorisation de « publier » votre courrier. J’ai également emprunté à Aïtana ses cahiers exceptionnels (je les publierai peut-être un jour, si elle me le permet).

A mon tour, je vous ai un peu surpris en offrant "... Donc, d'après..." à trois d'entre vous

- que tous les autres ont également applaudis, sans aucune mesquinerie.J'aurais bien aimé en offrir un exemplaire à chacun(e) (à quoi sert-il d'écrire un bouquin si on ne le partage pas ?), mais, je vous l'ai dit, je n'en avais pas les moyens !

Et nous avons travaillé, une dernière fois.

Dans les mouvements de la sortie de classe,

une main anonyme a écrit au tableau « on vous aime ».

Moi aussi, je vous aime.

Merci à tou(te)s.

Philippe Colliard

P.S. : votre livret est ici –fautes d’orthographe comprises !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Une histoire d'infinis

A tale of two infinities, Both a like in dignity… (Shakespeare, Roméo et Juliette - ou presque !)

Deux infinis, tous deux respectables... 

Mais l'un des deux est immensément plus vaste que l'autre!

Le premier infini, le « petit », est celui de l'ensemble des nombres entiers naturels : ceux qui depuis des milliers d'années, servent à compter.

Les mathématiciens considèrent qu’il y a ℵ0 nombres entiers naturels ( « ℵ » est la première lettre de l'alphabet hébreu et « ℵ0 » se lit « aleph-zéro » )... ℵ0 n'est bien sûr pas lui-même un entier naturel, même s'il sert à les 

« compter » : il n'existe pas d'entier naturel « ultime », plus grand que tous les autres. ℵ0 est le « plus petit des nombres infinis ». 

Plutôt que « il y a ℵ0 nombres entiers naturels », les mathématiciens disent « le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est ℵ0 » ! 

Mais c'est également celui des nombres entiers relatifs :
                                                 les entiers naturels ET leurs opposés...

C'est encore celui des nombres décimaux (les positifs et les négatifs)...

Et c'est toujours celui des nombres rationnels (les fractions - positives et négatives).

Oui, c'est le même infini, ou, pour le dire autrement : il y a exactement autant d'entiers naturels que d'entiers relatifs, de nombres décimaux ou de nombres rationnels !

Ce n'est évidemment pas évident : le « simple bon sens » nous dit que, puisque les entiers sont des fractions particulières (celles dont, sous forme irréductible, le dénominateur est 1), et puisqu'il y a beaucoup d'autres fractions, il doit y avoir bien plus de fractions que de nombres entiers naturels.

Mais le simple bon sens se trompe - ou nous trompe - tout comme il nous trompe lorsque nous croyons qu'un grand segment a plus de points qu'un petit...

Et comme pour les segments ( un grand segment a-t-il plus de pointsqu'un petit ?),

tout repose sur le sens du mot « autant ».

Le second infini, le « grand », est celui de l'ensemble des nombres réels...

Et non, ce n'est pas le même que l'autre infini : les mathématiciens considèrent qu’il y a ℵ₁  

(« aleph-un ») nombres réels… 

Ou, pour être exact, ils considèrent que, si on accepte « l'hypothèse du continu », il y a ℵ₁ nombres réels... Ils préfèrent dire que le cardinal de l'ensemble des nombres réels est ℵ₁ ! 

(Appliquée à l'ensemble des entiers naturels et à celui des nombres réels, « L'hypothèse du continu » affirme qu'il n'existe pas d'ensemble dont le cardinal est « coincé » entre celui du premier ensemble et celui du second : strictement supérieur au premier et strictement inférieur au second...

Pourquoi « hypothèse » ? Parce que, tout comme la géométrie, les ensembles de nombres s'étudient à partir d'axiomes...

Et personne, à partir des axiomes utilisés actuellement - anticipés par Georg Cantor puis formalisés par Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel, ne peut prouver que cette affirmation est vraie, ni d'ailleurs qu'elle est fausse : elle est «indécidable». Peut-être y verra-t-on un jour un axiome ?).

En cliquant sur « ébauches, servez-vous » , puis sur « deux infinis », vous accéderez à un petit fichier de deux pages : la première page illustre une démonstration classique du fait qu'il y a autant de nombres rationnels que d'entiers naturels.

La deuxième page illustre la démonstration tout aussi classique (la « diagonale » imaginée par Georg Cantor) du fait qu’il y a plus de réels que d'entiers naturels.

Élèves, parents, collègues ou passants qui passent, ces pages sont à votre disposition,

sous licence « Creative Commons ». 

N'hésitez pas à les utiliser si elles vous plaisent...
Ni à laisser des commentaires ici, agréables ou non. 

À bientôt,

Philippe Colliard.