Tout est affaire de mesure

Les interrogations écrites de géométrie, au collège, ressemblent aux crèmes glacées américaines : 3297 habillages (« dressings »)... Et toujours la même base. 

On est loin de Berthillon !

Je ne critique pas, je constate :) 

J'exagère peut-être un peu : après tout, nous sommes en France, pays de la gastronomie. Nos interrogations s'appuient donc sur trois bases :

                combien mesure... ?

                Ces droites sont-elles parallèles ?

                Ces droites sont-elles perpendiculaires ?

Un esprit chagrin, à l'évidence un anti-patriote, ferait peut-être remarquer qu'en géométrie (euclidienne) plane, la deuxième et la troisième base ne sont en fait qu'un habillage de la première, et que ces questions pourraient être posées sous la forme :

combien mesure l'un des angles formés par ces deux droites (ou par l'une de ces droites et une parallèle à l'autre) ? 

Ignorons-le, mais reconnaissons que notre base la plus usuelle est bien :

« combien mesure... ? »

Et là, nous nous heurtons quotidiennement à une difficulté :

il y a la question que nous posons... Et la question que nos élèves entendent !

Car il y a, de fait, deux mesures : une mesure physique et une mesure mathématique.

Évidemment, nous n'y pensons pas trop.

Ce n'est pas notre affaire, nous, nous faisons des mathématiques !

Oui, mais nos élèves, eux, ils font quoi ?

La plupart du temps, ils essaient avant tout de sauver leur peau :)

Alors, parfois, ils sortent une règle ou un rapporteur... À d'autres moments, ils essaient de raisonner...

Peut-être ne serait-il pas inutile de préciser - à chaque interrogation - les règles du jeu ?

De rappeler que « mesure exacte » signifie « mesure idéale, mathématique »

... Et n'a aucun sens physique !

Et que « mesure approchée » signifie « valeur approchée, adaptée à la situation, d'une mesure ».

De le rappeler, de le rappeler encore...

Ne serait-ce que pour éviter, s'il nous arrive de demander une mesure approchée du périmètre de la table ronde d'Arthur - dont nous supposons, pour la circonstance, que son diamètre est de 10 pieds - de tomber sur : ce périmètre est d'environ 31,415926535 pieds !

Oui, cela nous oblige également à reconnaître que le diamètre de cette table légendaire ne pouvait pas être de 10 pieds,  puisqu'il s'agit d'un objet physique... À moins peut-être d'affirmer que cette table, étant légendaire, n'était pas astreinte aux contraintes de la matière ?

Et donc à reconnaître que notre question manquait de rigueur.

Au menu d'aujourd'hui (la cuisine revient), si cela vous tente : 

...en cliquant sur « ... Donc, d'après,extraits », puis sur "Partie 1 : la base de la base", (p. 47 et suivantes) - quelques pages sur longueur, distance et unités de mesure...

 ... une feuille de cours et une ancienne tentative de synthèse, qui ne me rajeunissent 

      pas vraiment, et que vous trouverez en cliquant sur « ébauches, servez-vous ».

      Comme d'habitude, ces deux feuilles sont sous licence « Creative Commons »

À bientôt, je l'espère,

Philippe Colliard

Merci Alexandre !

Il s'appelle Alexandre Carret, 
il enseigne au collège Perrot d'Ablancourt, à Chalons-en-Champagne.

Je ne le connais pas, mais nous appartenons à la même liste de discussions, et je voudrais reproduire ici, naturellement avec son autorisation, l'essentiel de son dernier message.

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Je viens de vivre un moment fort avec mes deux classes de 5ème :

le but était d'approfondir deux théorèmes dont nous avions déjà un petit peu parlé.

Théorème 1 : (dessin classique - deux droites d1 et d2 ; a et b, deux angles alternes-internes définis par ces deux droites et une sécante).

Si d1 et d2 sont parallèles alors  a et b ont la même mesure.

Là, je rappelle : « tout théorème, pour avoir le droit à cette appellation, doit être démontré ».

Et j'écris donc :

preuve : nous admettrons ce théorème sans preuve.   :) :) :)

Tollé ! discussion sur ce qu'est une preuve : « un million de dessins mesurés ne font pas une preuve en mathématiques ».

Le doute s'installe chez les élèves :

« et si ce théorème était faux ? »

« C'est possible », dis-je , « voyons la suite » !

Et nous passons au deuxième théorème…

Théorème 2 : (dessin d'un triangle)

Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.

Preuve : je trace un schéma à main levée, donnant la configuration, et je dis :

« je vais vous démontrer ce théorème sans vraiment dessiner un triangle, sans connaître la valeur de ses angles, sans mesurer, etc. Juste avec la puissance de l'esprit. »

« Soit ABC, un triangle. Traçons la parallèle à (AB) passant par C. D'après le théorème précédent », patati patata.

La preuve les épate. C'est vrai qu'elle est épatante !

« Mais alors si le théorème précédent est faux, cette preuve s'écroule ! »

« Oui, mais maintenant que vous avez compris qu'on ne peut démontrer un théorème qu'en s'appuyant sur un autre théorème, vous voyez le problème : j'aurais peut-être pu vous donner la preuve du théorème précédent mais seulement en m'appuyant sur un autre théorème ».

La discussion s'est alors emballée en considérations de tous ordres :

« Mais alors, il faut faire une confiance aveugle au premier théorème ! »

« Non. Pas une confiance aveugle. Plutôt se dire : Supposons que ce premier théorème est vrai, que peut-on construire avec ? Et je vous promets que l'aventure est merveilleuse. »

« Mais alors, la géométrie, ça n'existe pas ! »

« Non, ça n'existe pas ! Ce sont des idées que nous manipulons avec l'esprit ! MAIS ces idées se nourrissent du réel. L'idée du cercle est inspirée des observations du réel en même temps qu'elle est indispensable pour approcher le mouvement des planètes. Il est donc important d'étudier l'idée du cercle. Et c'est le rôle de la géométrie. »

Ici, je leur ai lu la citation de Galilée au-dessus de mon bureau :

Galilée, dans L'Essayeur (1623):

« La philosophie est écrite dans ce livre gigantesque qui est continuellement ouvert à nos yeux (je parle de l'Univers), mais on ne peut le comprendre si d'abord on n'apprend pas à comprendre la langue et à connaître les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langage mathématique, et les caractères sont des triangles, des cercles, et d'autres figures géométriques, sans lesquelles il est impossible d'y comprendre un mot. Dépourvu de ces moyens, on erre vainement dans un labyrinthe obscur. »

La discussion a duré encore un bon moment et j'ai bon espoir qu'elle ait semé des petits bouts de mathématiques dans certaines têtes.

A suivre ...

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C'est tellement comme ça que je conçois la géométrie, c'est tellement comme ça que je conçois les dialogues avec mes élèves que j'avais envie d'applaudir.

C'est dans cet esprit, c'est pour servir de référence dans ce genre de discussion que j'ai écrit «... Donc, d'après... ». Pour qu'il prenne l'idée à des élèves un peu titillés par un professeur comme Alexandre d'aller chercher ce livre au CDI, d'y remonter l'arborescence, la construction d'un théorème. Oh, un seul ! Ce serait déjà fantastique.

(Pour la petite histoire, après avoir lu ce message, j'ai voulu « déconstruire » son « théorème numéro 2 », dans l'axiomatique de «... Donc, d'après... »

- comme je l'ai fait dans un article récent pour le théorème de Pythagore

( voir  http://mathemagique-com.blogspot.fr/2014/09/special-profs-une-plongee-sous-le.html ) :

dans mon livre, le théorème sur la somme des mesures des angles d'un triangle est le théorème T-35 … Comme il s'agit d'un petit numéro, je me suis dit que ça allait aller très vite. Eh bien, pas du tout !

T-35 s'appuie sur   M-8   et   T-29

T-29 s'appuie sur   T-15, T-18 , T-23 , T-24 , M-8 à nouveau et D-69.

T-24 s'appuie sur   T-15 , T-17 , T-23 , M-8 et M-9

T-23 s'appuie sur   T-15 et D-69

T-18 s'appuie sur   T-10 , T-13 , T-14 , T-15 , T-16 , M-13 et D-51

T-17 s'appuie sur   T-4 , T-16 et D-14

T-16 s'appuie sur   T-1 , T-15 , M-2 et M-3

T-15 s’appuie sur   T-14

T-14 s'appuie sur   T-11 et T-13

T-13 s'appuie sur   T-11 et D-5

T-11 s'appuie sur   T-8 et T-10

T-10 s'appuie sur   T-9 , M-15 et D-69

T-9   s'appuie sur   M-3, des théorèmes numériques et D-57

T-8   s'appuie sur   M-10 et M-11

T-4   s'appuie sur   M-3 et D-14

T-1   s'appuie sur   M-1             … Ouf ! )

Naturellement, il est clair que remonter l'arborescence de T-35 jusqu'aux « métaxiomes » n'est pas du tout dans l'esprit de l'enseignement de la géométrie en cinquième...

Et heureusement !

Il est clair également qu’Alexandre, à juste titre, ne l'a pas tenté. Mais il en a fait découvrir l'existence, et ça, non seulement ça me paraît accessible à des élèves de cinquième, non seulement ça les fait réagir, ça les « interpelle », mais ça me semble fondamental.

Alors, encore une fois, merci Alexandre !

Et merci à vous tous de suivre ce blog comme vous le faites.

Un rappel (c'est la dernière fois, promis) :

si vous ne l'avez pas encore fait, rendez-vous sur

http://mathemagique-com.blogspot.fr/2014/09/votez.html

Et...VOTEZ ! Il ne reste que trois jours.

A bientôt,

Philippe Colliard

PGDC à 2 nombres... Et spectres

A l'origine de cet article, comme bien souvent, une petite bouffée d’agacement face à la trop grande tolérance – parfois la trop grande intolérance ! – dont nous faisons parfois preuve dans notre écriture.  Je voulais exprimer à nouveau mon goût d'une « rigueur raisonnable » - par opposition à une rigidité ou un laxisme excessifs dans le vocabulaire ou les expressions que nous employons.

Mais je ne suis pas toujours maître de mes pensées : sagement, au début, elles se sont penchées sur quelques mots-clés, mal définis ou mal utilisés... Et puis, elles se sont focalisées sur « le PGCD de... ».

Elles ont gagné, l'article sur la rigueur raisonnable attendra !

« Le PGCD de 1650 et de 4400 est 550 »

La forme : 

pourquoi continuer à utiliser une expression doublement condamnable ?

D'une part, il y a bien longtemps - depuis la fin de la langue francique - que l’antéposition n'est plus de règle pour les adjectifs :

dites-vous « le commun sort... » ou « le sort commun... » ?

D'autre part, la langue française a une syntaxe bien établie, et « le sort commun de l'un et de l'autre » n'y est pas acceptable... Même s'il peut-être commun à l'un ou à l'autre d'entre nous de l'oublier :)

Je parlerai donc ici du «PGDC à 1650 et à 4400 » !

Le fond, maintenant :

depuis que l'arithmétique a disparu des programmes du collège, la recherche du PGDC à deux nombres perd fortement de son intérêt : dans de nombreux brevets, elle n'a servi qu'à répondre à des questions palpitantes de style…

… Artistique :

Un fleuriste dispose de 126 iris et 210 roses.

Il veut, en utilisant toutes ses fleurs, réaliser des bouquets contenant tous le mêmenombre d’iris et le même nombre de roses.Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser ?

… Guerrier : 

6 510 fourmis noires et 4 650 fourmis rouges décident de s’allier pour combattre les termites.

Pour cela, la reine des fourmis souhaite constituer, en utilisant toutes les fourmis,des équipes qui seront toutes composées de la même façon : un nombrede fourmis rouges et un autre nombre de fourmis noires.Quel est le nombre maximal d’équipes que la reine peut ainsi former ?

… Gourmand :

Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises.

Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruitsen les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques.1. Calculer le nombre de tartelettes.2. Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette.

Je ne me moque pas : étant donné les contraintes imposées, je n'aurais certainement pas fait mieux que les collègues... Mais franchement, vous croyez vraiment qu'un pâtissier va prendre le temps de compter une à une ses framboises et ses fraises ? Et va être suffisamment névrosé pour tenir absolument à ce que toutes ses tartelettes soient « identiques » ?

Depuis quelques années, le PGDC à deux nombres n'est bien souvent plus qu'une touche de la calculatrice, une application qui tente d'assimiler les mathématiques à une technique.

Et pourtant... Il y a du raisonnement, derrière. Un raisonnement parfaitement accessible à des collégiens. Des mathématiques, quoi !

Il y a également cette fenêtre - bon, ce tout petit hublot - vers l'arithmétique. La seule échappée qui y mène encore, au collège (depuis que le PPMC à deux nombres a disparu des programmes).

L'arithmétique, bien que l'une des branches les plus complexes des mathématiques, en est également, par ses questions comme par certaines de ses applications, l'une des plus intéressantes à vulgariser... Et propre à « accrocher », le temps d'une ou deux séances, de nombreux élèves apparemment allergiques aux mathématiques.

Il y a enfin ce lien très fort entre le PGDC (et le PPMC) à deux nombres et les mathématiques ensemblistes : à tout entier supérieur à 1 correspond ce qu'on appelle souvent sa

« décomposition en facteurs premiers ». Je n'aime pas trop cette idée de décomposition

- elle ne sent pas très bon :) - et elle contraint à préciser « unique, à l'ordre près ».

Je préfère associer à chacun de ces entiers l'ensemble des entiers premiers qui le composent, chacun de ces entiers étant indexé en a à sa première apparition, en b à la suivante, etc.

par exemple, à l'entier 550  correspond l'ensemble { 2_a , 5_a , 5_b , 11_a }. Comme un ensemble est indépendant de l'ordre dans lequel ses éléments sont listés, il correspond bien à chaque entier supérieur à 1 un ensemble unique de ce type.

Par analogie avec les rubans de bandes verticales qui permettent, par irradiation, d’identifier des minerais sans les broyer (sans les « décomposer »), il m'a semblé raisonnable d'appeler

« spectres d'entiers » les ensembles en question (si je me suis permis de leur donner un nom, c'est qu'apparemment, personne d'autre ne l'avait fait !)

{ 2_a , 5_a , 5_b , 11_a } est donc le spectre de 550.

Quel intérêt, me direz-vous (peut-être), et qu'est-ce que cela a à avoir avec le PGDC à deux nombres ?

Cela a tout à voir !

Plus au collège, maintenant, et, bien sûr, je le regrette. Est-ce une raison pour ne pas en parler ?

Le spectre de 1650 est { 2_a , 3_a , 5_a , 5_b , 11_a } ,

celui de 4400 est { 2_a , 2_b , 2_c , 2_d , 5_a , 5_b , 11_a }.

L'intersection de ces spectres est { 2_a , 5_a , 5_b , 11_a }  …

C'est-à-dire le spectre de leur PGDC !

Et l'ensemble de leurs diviseurs communs est composé des entiers dont les spectres sont les parties (les sous-ensembles) valides de ce spectre :)

De la même façon, leur réunion est le spectre de leur PPMC...

Et l'ensemble de leurs multiples communs est composé, à son tour, des entiers dont les spectres sont les sur-ensembles valides de ce spectre.

Vous pouvez,si vous le souhaitez, lire, télécharger, modifier et utiliser mes feuilles de cours de 3ème sur ce thème, en cliquant sur « ébauches, servez-vous »  puis sur "PGDC à 2 entiers"...

...vous trouverez au même endroit une page qui fait le lien entre d'une part, 550 et ses (autres) diviseurs, et d'autre part le spectre de 550 et tous ses (autres) sous-ensembles :
"Spectres et diviseurs : un exemple".

J'aime beaucoup cette feuille et vous pouvez également en faire ce qu'il vous plaira...

Mais je ne suis pas sûr que ce serait une bonne idée de l'utiliser au collège.

À bientôt peut-être

Philippe Colliard

P.S. :  si vous ne l'avez pas déjà fait, s'il vous plaît, lisez l'article "Votez !" ... Et agissez :)

          Il est juste en dessous de celui-ci

          - ou, si vous n'avez cliqué que sur l'article actuel, il est ici :

          http://mathemagique-com.blogspot.fr/2014/09/votez.html .

Votez !

Peut-être ne connaissez-vous pas les éditions Pole, le magazine Tangente - ou son petit frère, Tangente éducation ?

Cliquez alors sur   http://www.poleditions.com/pole,

flânez sur leur site, découvrez le portail http://www.infinimath.com/ .

Les éditions Pole sont une mine d'or pour les professeurs comme pour les élèves.

Elles sont uniques, incontournables !

Et chaque année, elles décernent un prix, le « prix Tangente », à l'un des livres parlant de mathématiques et jugé digne, au cours de l'année écoulée, d'une « note de lecture » dans Tangente ou dans Tangente éducation.

Cette année, cela représente 27 livres.

Et oui, parmi eux, «... Donc, d'après... » !

(Il me semble entendre quelques ricanements : d'abord, ce n'est pas très gentil, ensuite, ce n'est même pas juste ! J'aime les éditions Pole d'une affection totalement pure et désintéressée. Est-ce ma faute si Hervé Lehning, qui est, lui, un écrivain reconnu, a décidé de parler de mon livre dans Tangente éducation ?)   

Le Prix Tangente :

un premier vote, par tous les internautes qui le désirent (et qui acceptent de s’inscrire : ça prend 2 minutes et c’est gratuit), pour déterminer les « nominés »...

Puis un jury de personnalités pour le choix final.

S'il vous plaît, inscrivez-vous... S'il vous plaît, votez !

C'est ici : http://www.infinimath.com/espace_lecture.php?corps=prix_tangente

Votez évidemment pour le livre que vous préférez.

Si par bonheur, il s'agit de « Donc, d'après... », il est en bas de la liste...

Bien sûr, je serais ravi que mon livre fasse partie des nominés :

un an plus tard, je l'aime toujours autant et je crois toujours autant en son avenir.

Mais peut-être suis-je quelque peu partial ?

Alors franchement, l'important, c'est que vous votiez.

Parce que, quel que soit votre vote, c'est un vote pour les maths. Et les maths le méritent bien.

Inscrivez-vous et votez maintenant, là, tout de suite. Parce que si vous êtes comme moi, vous allez remettre à plus tard... Et dans 15 jours, plus tard, ce sera trop tard.

A bientôt

Philippe Colliard