dimanche 7 septembre 2014

Spécial profs : une plongée sous le théorème de Pythagore



... A la découverte de la structure qui le porte.



Mon but n'est pas ici de démontrer le théorème de Pythagore, mais de le démonter... Ou, si vous le préférez, de le déconstruire, de le détricoter : de redescendre aux quatre théorèmes dont il est directement issu, puis aux théorèmes dont ces quatre-là sont, à leur tour, issus, etc.

Jusqu'à atteindre les axiomes... Ou plus exactement, ici, les « métaxiomes », puisque l'architecture que je déconstruis est celle de l'axiomatique simplifiée du livre «.. Donc, d'après...»

Pourquoi ce jeu de déconstruction ?

Peut-être pour rappeler qu'un théorème ne vient pas du néant, qu'il a sa place dans une arborescence... Tout comme chacun de nos cours a sa place dans la progression que nous concevons pour chaque nouvelle rentrée.

Et peut-être parce qu’une meilleure vision de cette arborescence pourrait nous aider à mieux concevoir ladite progression !

Bien évidemment, cela ne veut absolument pas dire que, pour bien enseigner au collège, nous devrions parfaitement maîtriser l'arborescence des 205 théorèmes que j'ai démontrés dans le livre : l'architecture du théorème de Pythagore - qui ne met en scène que 30 théorèmes - m'a occupé pendant presque une semaine... Et je ne suis pas du tout certain de pouvoir un jour vous présenter l'arborescence générale : elle apparaît évidemment en creux dans le livre, mais je n'ai jamais tenté de la dessiner.

En revanche, il me semble qu'avoir en tête une idée approximative de l'axiomatique qui sous-tend la géométrie que nous enseignons ne peut qu'être bénéfique. Tout comme il peut nous être utile de maîtriser la démonstration d'un certain nombre de théorèmes que nous ne ferons pourtant que citer en classe, sans jamais les y démontrer !
(Un certain nombre : pour ma part, j'ai bien peur d'être incapable de retrouver de mémoire les démonstrations de la majorité des 205 théorèmes du livre... Et pourtant, je les ai bien rédigées !)

Les numéros que j'utilise pour les théorèmes et les métaxiomes, dans l'architecture de la page suivante, sont ceux que je leur ai attribués dans le livre : pour qu'il ne vous soit pas nécessaire de le consulter, je les ai « copiés - collés » sur deux pages, à la suite de l'architecture. Et non, je ne suis tout de même pas allé jusqu'à « copier - coller » également leurs démonstrations !

Les pages sont ici :   architecture du théorème de Pythagore

J'en profite pour vous rappeler l'existence d’un feuillet de quatre pages, listant les principaux théorèmes du livre, également publié sous licence « Creative Commons », et que vous pouvez distribuer à vos élèves de troisième (voire de quatrième). Vous le trouverez sur http://mathemagique.com/complements.html , en cliquant sur « côté profs : servez-vous »… Ou en(re)lisant l'article que je lui ai consacré, ici :


Merci de l'intérêt que vous portez à mon travail. N'hésitez pas à intervenir !

A bientôt ?

Philippe Colliard


P.S. :       pour que l'architecture soit complète, j'aurais dû y faire figurer les définitions invoquées par les théorèmes et les métaxiomes concernés... Mais là, ça devenait vraiment illisible !

5 commentaires:

  1. Bonjour,

    R. B. a écrit :

    --- Citation ---

    Il y a plusieurs démonstrations du théorème de Pythagore. il y en déjà deux dans les éléments d'Euclide, toutes les deux s'appuyant sur les aires.

    La première déation (livre premier) s'appuie sur l'égalité des aires, la seconde démonstration (livre VI) s'appuie sur les rapports d'aires dans les figures semblables.

    Enfin, des démonstrations plus récentes utilisent les mesures de longueurs, par exemple dans les Eléments de Géométrie de Legendre, démonstration qui sera reprise dans les ouverts d'enseignement jusqu'à l'introduction des mathématiques modernes.

    Toutes ces démonstrations s'appuient sur le postulat des parallèles.

    Sur les différentes démonstrations, on peut lire "Les Curiosité Géométriques" de Fourrey (1907).
    --
    R. B.
    --- Fin de citation ---

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    1. Bonjour,

      une vidéo d'Étienne Ghys parle du théorème de Pythagore, qui devient faux dans les géométries non euclidiennes : http://dai.ly/x1zaeyx

      Amicalement,
      --
      Mateo.

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    2. Bonjour,

      Le livre de Fourrey : "Curiosités géométriques" est disponible sur le site Gallica de la BNF :
      http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k875649b.r=Fourrey.langFR

      Amicalement,
      --
      Mateo.

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  2. Bonjour,

    J'ai vu dans ce site comment calculer tous les triangles rectangles possibles.
    http://ouramdane.com/puissances-parfaites/x2+y2z2.htm

    Cordialement.

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